Exercice 3 — Suites et récurrence, Limites de suites

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par: $\left\{\begin{array}{lcl} u_{1}&=&\dfrac{1}{\text{e}} \\ u_{n+1}&=&\dfrac{1}{\text{e}}\left(1+\dfrac{1}{n}\right) u_{n}\: \text {pour tout entier } n \geqslant 1. \end{array}\right.$

• 1. Calculer les valeurs exactes de $u_{2}$ et $u_{3}$. On détaillera les calculs.

• 2. On considère une fonction écrite en langage Python qui, pour un entier naturel $n$ donné, affiche le terme $u_{n}$. Compléter les lignes $L_{2}$ et $L_{4}$ de ce programme.

  L_{1} & def suite(n):
  L_{2} &   … … … … … …
  L_{3} &   for i in range(1, n):
  L_{4} &     u=… … … … … …
  L_{5} & return u
  

• 3. On admet que tous les termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ sont strictement positifs.

  • a) Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, on a : $1+\dfrac{1}{n} \leqslant \text{e}$.

  • b) En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.

  • c) La suite $\left(u_{n}\right)$ est-elle convergente ? Justifier votre réponse.

• 4.

  • a) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul, on a : $u_{n}=\dfrac{n}{\text{e}^{n}}$.

  • b) En déduire, si elle existe, la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.