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Combinatoire et dénombrement

COMBINATOIRE ET DÉNOMBREMENT

Terminale · Spécialité Mathématiques · Thème : Probabilités & Dénombrement

Place dans le programme et prérequis

Ce chapitre est le chapitre-outil des probabilités : il fournit les techniques pour compter — nombre de tirages, nombre d'arrangements, nombre de combinaisons — et donc pour calculer les probabilités de tirages aléatoires. Il alimente directement la loi binomiale (coefficient binomial) et intervient dans les exercices de probabilités générales.

Prérequis indispensables :

Raisonnement multiplicatif de base (arbres de dénombrement de collège)
Notion de factorielle (première)
Notion d'ensemble et de cardinal

Chapitre débouchant sur : Loi binomiale (coefficients binomiaux), Probabilités conditionnelles et arbres (calcul de probabilités en équiprobabilité), Variables aléatoires et sommes.

1. Notions clés

1.1 Cardinal d'un ensemble fini

Le cardinal d'un ensemble $E$ fini, noté $|E|$ ou $\text{Card}(E)$ , est le nombre d'éléments de $E$ .

Exemple. Si $E = \{a, b, c, d\}$ , alors $|E| = 4$ .

1.2 Principe multiplicatif (fondamental)

Si une expérience se déroule en $k$ étapes successives indépendantes, et si la $i$ -ème étape offre $n_i$ possibilités, alors le nombre total de possibilités est : $n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_k$

Exemple. Combien de plaques d'immatriculation composées de 2 lettres suivies de 3 chiffres ? $26 \times 26 \times 10 \times 10 \times 10 = 676\,000$ .

1.3 Trois notions à distinguer absolument

Selon le type de tirage, on distingue :

Situation	Ordre	Répétition	Formule
$k$ -uplet (tirage avec remise)	Compte	Autorisée	$n^k$
Arrangement (tirage sans remise, ordre compte)	Compte	Interdite	$\dfrac{n!}{(n-k)!}$
Combinaison (tirage sans remise, ordre indifférent)	Ne compte pas	Interdite	$\binom{n}{k}$

Cas particulier : $k = n$ (tout l'ensemble) → permutation, $n!$ possibilités.

1.4 Factorielle

Pour $n \in \mathbb{N}^*$ : $n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1$ .

Convention : $0! = 1$ .

Croissance rapide : $1! = 1$ , $2! = 2$ , $3! = 6$ , $4! = 24$ , $5! = 120$ , $10! = 3\,628\,800$ .

1.5 Coefficient binomial

Pour ${\color{#EE0000}{n}}, {\color{#00B050}{k}} \in \mathbb{N}$ avec ${\color{#00B050}{k}} \leqslant {\color{#EE0000}{n}}$ : $\binom{{\color{#EE0000}{n}}}{{\color{#00B050}{k}}} = \dfrac{{\color{#EE0000}{n}}!}{{\color{#00B050}{k}}!\,({\color{#EE0000}{n}} - {\color{#00B050}{k}})!}$

Lecture : « ${\color{#EE0000}{n}}$ parmi ${\color{#00B050}{k}}$ » — compte le nombre de façons de choisir ${\color{#00B050}{k}}$ éléments parmi ${\color{#EE0000}{n}}$ sans distinction d'ordre.

2. Formulaire — théorèmes et propriétés

T1 — Nombre de $k$ -uplets (tirages avec remise, ordre compte)

Le nombre de ${\color{#00B050}{k}}$ -uplets d'éléments d'un ensemble de ${\color{#EE0000}{n}}$ éléments (avec répétitions autorisées) est : ${\color{#EE0000}{n}}^{\,{\color{#00B050}{k}}}$

Exemples typiques : codes secrets à 4 chiffres ( $10^4$ ), mots de longueur $k$ formés avec $n$ lettres.

T2 — Nombre d'arrangements (tirages sans remise, ordre compte)

Le nombre d'arrangements de ${\color{#00B050}{k}}$ éléments distincts choisis parmi ${\color{#EE0000}{n}}$ est : $A_{{\color{#EE0000}{n}}}^{{\color{#00B050}{k}}} = \dfrac{{\color{#EE0000}{n}}!}{({\color{#EE0000}{n}} - {\color{#00B050}{k}})!} = {\color{#EE0000}{n}} \times ({\color{#EE0000}{n}}-1) \times \cdots \times ({\color{#EE0000}{n}} - {\color{#00B050}{k}} + 1)$

(produit de ${\color{#00B050}{k}}$ facteurs consécutifs décroissants).

Exemples typiques : podiums (or/argent/bronze) parmi ${\color{#EE0000}{n}}$ athlètes, mots sans répétition.

T3 — Nombre de permutations (cas ${\color{#00B050}{k}} = {\color{#EE0000}{n}}$ )

Le nombre de permutations d'un ensemble de ${\color{#EE0000}{n}}$ éléments est : ${\color{#EE0000}{n}}!$

Exemples typiques : nombre d'ordres possibles pour un rangement d'objets, anagrammes d'un mot dont toutes les lettres sont distinctes.

T4 — Nombre de combinaisons (tirages sans remise, ordre indifférent)

Le nombre de combinaisons de ${\color{#00B050}{k}}$ éléments choisis parmi ${\color{#EE0000}{n}}$ est : $\binom{{\color{#EE0000}{n}}}{{\color{#00B050}{k}}} = \dfrac{{\color{#EE0000}{n}}!}{{\color{#00B050}{k}}!\,({\color{#EE0000}{n}} - {\color{#00B050}{k}})!}$

Exemples typiques : tirage simultané de ${\color{#00B050}{k}}$ boules parmi ${\color{#EE0000}{n}}$ , comité de ${\color{#00B050}{k}}$ personnes choisies parmi ${\color{#EE0000}{n}}$ , main de ${\color{#00B050}{k}}$ cartes.

T5 — Propriétés du coefficient binomial

Cas particuliers : $\binom{n}{0} = 1 \qquad \binom{n}{1} = n \qquad \binom{n}{n} = 1$

Symétrie : $\binom{n}{k} = \binom{n}{n - k}$

Interprétation : choisir les $k$ éléments à prendre = choisir les $n - k$ à laisser.

Relation de Pascal (triangle de Pascal) : $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$

Somme des lignes du triangle : $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$

T6 — Lien avec arrangements

$A_n^k = \binom{n}{k} \times k!$

Interprétation : un arrangement = choix (combinaison) + ordre ( $k!$ ordres possibles pour $k$ éléments).

3. Méthodes types au bac

M1 — Reconnaître la situation (arrangement, combinaison, ou $k$ -uplet)

Questions à se poser dans cet ordre :

Y a-t-il répétition possible ?
- Oui (avec remise) → $k$ -uplet → $n^k$
- Non (sans remise) → question suivante
L'ordre compte-t-il ?
- Oui → arrangement → $A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$
- Non → combinaison → $\binom{n}{k}$

Indicateurs typiques :

« Codes », « mots », « plaques », « suites » → ordre compte (souvent avec remise).
« Podium », « classement », « premier / deuxième / troisième » → ordre compte, sans remise.
« Comité », « équipe », « main », « poignée », « choisir » → ordre ne compte pas.
« Tirage simultané » → sans ordre (combinaison).
« Tirage successif sans remise » → avec ordre (arrangement).
« Tirage successif avec remise » → $k$ -uplet.

Où c'est tombé : identification en QCM régulier. Métropole 2022, Polynésie 2023, Amérique du Nord 2024.

M2 — Compter par principe multiplicatif

Type d'énoncé : « Combien de mots de 3 lettres peut-on former avec les 26 lettres de l'alphabet, la 1re devant être une voyelle ? »

Démarche. Décomposer en étapes indépendantes :

1re lettre (voyelle) : 6 choix (A, E, I, O, U, Y).
2e lettre : 26 choix.
3e lettre : 26 choix.

Total : $6 \times 26 \times 26 = 4056$ .

Où c'est tombé : systématique en question de dénombrement.

M3 — Compter le nombre de mots / codes (avec ou sans répétition)

Exemple avec répétition ( $k$ -uplet). Combien de codes à 4 chiffres ? $10^4 = 10\,000$ .

Exemple sans répétition (arrangement). Combien de codes à 4 chiffres dont tous les chiffres sont distincts ?

$A_{10}^4 = \dfrac{10!}{6!} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$ .

Exemple permutation. Combien d'anagrammes du mot MATHS (5 lettres distinctes) ? $5! = 120$ .

Où c'est tombé : Métropole 2021, Antilles 2023.

M4 — Compter le nombre de tirages simultanés (combinaisons)

Exemple. Dans une urne, 10 boules. On tire simultanément 3 boules. Combien de tirages possibles ?

Tirage simultané ⇒ sans ordre ⇒ combinaison : $\binom{10}{3} = \dfrac{10!}{3! \times 7!} = \dfrac{10 \times 9 \times 8}{6} = 120$ .

Où c'est tombé : systématique dans les exercices de probabilités avec tirage simultané. Métropole 2022, Polynésie 2023, Amérique du Nord 2024.

M5 — Compter avec contraintes (subdivision en cas)

Type d'énoncé : « Dans un jeu de 32 cartes, on tire une main de 5 cartes. Combien de mains contenant exactement 2 as ? »

Démarche.

Choisir les 2 as parmi les 4 : $\binom{4}{2}$ .
Choisir les 3 autres cartes parmi les 28 non-as : $\binom{28}{3}$ .
Multiplier (principe multiplicatif).

$\binom{4}{2} \times \binom{28}{3} = 6 \times 3276 = 19\,656$ .

Où c'est tombé : Métropole 2022, Polynésie 2023.

M6 — Calcul de probabilité par équiprobabilité

Formule. Si tous les issues d'une expérience sont équiprobables : $P(\text{événement}) = \dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$

Exemple. Probabilité de tirer 2 boules rouges parmi 3 dans une urne de 5 boules dont 3 rouges (tirage simultané).

Cas favorables : $\binom{3}{2}$ (2 rouges parmi 3) × $\binom{2}{1}$ (1 non-rouge parmi 2) = $3 \times 2 = 6$ .
Cas possibles : $\binom{5}{3} = 10$ .
$P = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$ .

Où c'est tombé : structure canonique dans les exercices de probabilités. Métropole 2021 à 2024, toutes sessions.

M7 — Utiliser la symétrie et le triangle de Pascal

Exemple. Calculer $\binom{100}{98}$ sans calculatrice.

Par symétrie : $\binom{100}{98} = \binom{100}{2} = \dfrac{100 \times 99}{2} = 4950$ .

Où c'est tombé : en QCM et pour simplifier des calculs. Métropole 2022, Polynésie 2023.

4. Analyse fréquentielle

Les techniques de dénombrement apparaissent dans environ 50 % des sujets de bac spécialité maths, principalement dans les exercices de probabilités.
Format le plus fréquent — deux configurations :
1. QCM d'identification — reconnaître si une situation est un arrangement / combinaison / $k$ -uplet, ou calculer un dénombrement direct.
2. Exercice de probabilité avec tirage — dénombrer d'abord, puis appliquer la formule d'équiprobabilité.
Tirage simultané → combinaisons (M4) : ultra-fréquent, presque systématique dans les exercices de proba avec urne.
Compter avec contraintes (M5) : régulier, notamment en jeu de cartes ou tirage dans une population catégorisée.
Coefficient binomial apparaît aussi directement dans la loi binomiale (voir fiche Loi binomiale).
Symétrie $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ (M7) : en QCM ou pour simplifier des calculs.

5. Erreurs fréquentes

Confondre arrangement et combinaison : critère décisif = l'ordre compte-t-il ?
Confondre tirage avec remise et sans remise : mot-clé « simultané » = sans remise (et sans ordre) ; « successif avec remise » = $k$ -uplet.
Utiliser $n^k$ pour un tirage sans remise : $k$ -uplet uniquement avec répétition possible.
Utiliser $A_n^k$ pour un tirage simultané : l'arrangement compte l'ordre, incorrect pour un tirage simultané.
Oublier le principe multiplicatif dans un dénombrement avec contraintes (M5) : diviser en étapes et multiplier.
Erreur de calcul de factorielle — la croissance est rapide, calcul à la calculatrice recommandé.
Diviser $A_n^k$ par $k!$ pour obtenir la combinaison : c'est correct ( $A_n^k = \binom{n}{k} \times k!$ ), mais souvent mal appliqué.
Additionner au lieu de multiplier dans le principe multiplicatif : les étapes indépendantes se multiplient, pas s'additionnent.
Oublier de préciser « équiprobabilité » avant d'appliquer $P = \dfrac{\text{fav}}{\text{poss}}$ .
Ordre du triangle de Pascal : $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$ (attention aux indices).

6. Formulaire à retenir

Objet	Formule	Situation
Principe multiplicatif	$n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_k$	Étapes indépendantes
Factorielle	$n! = n(n-1)(n-2)\cdots 1$ , $0! = 1$	Base des formules
$k$ -uplet (avec remise, ordre)	$n^k$	Codes, mots avec répétition
Arrangement (sans remise, ordre)	$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$	Podium, tirage successif sans remise
Permutation	$n!$	Rangement de $n$ objets distincts
Combinaison (sans remise, sans ordre)	$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$	Tirage simultané, comité
Symétrie	$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$	Simplification
Pascal	$\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$	Triangle de Pascal
Somme lignes	$\sum \binom{n}{k} = 2^n$	Partie(s) d'un ensemble
Équiprobabilité	$P = \frac{\text{fav}}{\text{poss}}$	Après dénombrement

7. Annales à consulter sur vecteurmaths.fr

Identification arrangement / combinaison en QCM (M1) :

Métropole — 2024 J2 ex. 4

Comptage avec contraintes (M5) — main de cartes, boules par couleur :

Amérique du Sud — 2024 J1 ex. 2
Centres Étrangers — 2024 J2 ex. 1

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