Exercice 2 — Probabilités conditionnelles et arbres, Loi binomiale

On dispose de deux urnes opaques U$_1$ et U$_2$.

L'urne U$_1$ contient 4 boules noires et 6 boules blanches.

L'urne U$_2$ contient 1 boule noire et 3 boules blanches.

On considère l'expérience aléatoire suivante :

On pioche au hasard une boule dans U$_1$ que l'on place dans U$_2$, puis on pioche au hasard une boule dans U$_2$.

On note:

• $N_1$ l'évènement « Piocher une boule noire dans l'urne U$_1$ ».
• $N_2$ l'évènement « Piocher une boule noire dans l'urne U$_2$ ».

Pour tout évènement $A$, on note $\overline{A}$ son évènement contraire.

PARTIE A

• 1. On considère l'arbre de probabilités ci-contre.

  • a) Justifier que la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne U$_2$ sachant qu'on a pioché une boule blanche dans l'urne U$_1$ est $0,2$.

  • b) Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-contre, en faisant apparaître sur chaque branche les probabilités des évènements concernés, sous forme décimale.

(Figure : voir le sujet PDF.)

• 1. Calculer la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne U$_1$ et une boule noire dans l'urne U$_2$.

• 2. Justifier que la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne U$_2$ est égale à 0,28.

• 3. On a pioché une boule noire dans l'urne U$_2$

  Calculer la probabilité d'avoir pioché une boule blanche dans l'urne U$_1$ . On donnera le résultat sous forme décimale arrondie à $10^{-2}$.

PARTIE B

$n$ désigne un entier naturel non nul.

L'expérience aléatoire précédente est répétée $n$ fois de façon identique et indépendante, c'est-à-dire que les urnes U$_1$ et U$_2$ sont remises dans leur configuration initiale, avec respectivement 4 boules noires et 6 boules blanches dans l'urne U$_1$ et 1 boule noire et 3 boules blanches dans l'urne U$_2$, entre chaque expérience.

On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où on pioche une boule noire dans l'urne U$_2$.

On rappelle que la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne U$_2$ est égale à 0,28 et celle de piocher une boule blanche dans l'urne U$_2$ est égale à 0,72.

• 1. Déterminer la loi de probabilité suivie par $X$. Justifier votre réponse.

• 2. Déterminer par le calcul le plus petit entier naturel n tel que:

  $1 - 0,72^n \geqslant 0,9.$

• 3. Interpréter le résultat précédent dans le contexte de l'expérience.

PARTIE C

Dans cette partie les urnes U$_1$ et U$_2$ sont remises dans leur configuration initiale, avec respectivement 4 boules noires et 6 boules blanches dans l'urne U$_1$ et 1 boule noire et 3 boules blanches dans l'urne U$_2$.

On considère la nouvelle expérience aléatoire suivante :

On pioche simultanément deux boules dans l'urne U$_1$ que l'on place dans l'urne U$_2$, puis on pioche au hasard une boule dans l'urne U$_2$.

• 1. Combien y a-t-il de tirages possibles de deux boules simultanément dans l'urne U$_1$ ?

• 2. Combien y a-t-il de tirages possibles de deux boules simultanément dans l'urne U$_1$ contenant exactement une boule blanche et une boule noire ?

• 3. La probabilité de piocher une boule noire dans l'urne U$_2$ avec cette nouvelle expérience est- elle supérieure à la probabilité de tirer une boule noire dans l'urne U$_2$ avec l'expérience de la partie A ? Justifier votre réponse.

  On pourra s'aider d'un arbre pondéré modélisant cette expérience.