FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

Terminale · Spécialité Mathématiques · Thème : Analyse (Fonctions)

---

Place dans le programme et prérequis

Ce chapitre approfondit l'étude des fonctions sinus et cosinus vues au collège et en première (cercle trigonométrique, valeurs remarquables) en ajoutant leur dérivation, leur étude complète sur un intervalle bien choisi (grâce à la périodicité et à la parité), et les formules d'addition — nouveauté du programme de terminale spécialité.

Prérequis indispensables :

• Cercle trigonométrique, valeurs remarquables de $\sin$ et $\cos$ (première)
• Radians (unité obligatoire — les degrés sont interdits en analyse)
• Dérivation et convexité
• Limites de fonctions

Chapitre débouchant sur : Équations différentielles (les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont solutions de $y'' + y = 0$, hors programme mais souvent évoquées), Primitives (primitives des fonctions trigonométriques).

---

1. Notions clés

1.1 Rappel : cercle trigonométrique

Pour tout réel $x$ (en radians), on définit $\cos x$ et $\sin x$ comme les coordonnées du point du cercle trigonométrique obtenu en parcourant un arc de longueur $x$ à partir du point $(1\,;0)$.

Propriété fondamentale : pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$

1.2 Périodicité

Les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont périodiques de période $2\pi$ : $\cos(x + 2\pi) = \cos x \qquad \sin(x + 2\pi) = \sin x$

Conséquence : il suffit d'étudier $\cos$ et $\sin$ sur un intervalle de longueur $2\pi$, par exemple $[-\pi\,;\pi]$ ou $[0\,;2\pi]$.

1.3 Parité

• $\cos$ est paire : $\cos(-x) = \cos x$. Courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
• $\sin$ est impaire : $\sin(-x) = -\sin x$. Courbe symétrique par rapport à l'origine.

Conséquence : il suffit d'étudier $\cos$ et $\sin$ sur $[0\,;\pi]$ (une demi-période), puis on complète par symétrie.

1.4 Sens de variation

Sur $[0\,;2\pi]$ :

• $\cos$ est décroissante sur $[0\,;\pi]$, croissante sur $[\pi\,;2\pi]$.
• $\sin$ est croissante sur $\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$, décroissante sur $\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{3\pi}{2}\right]$, croissante sur $\left[\dfrac{3\pi}{2}\,;2\pi\right]$.

1.5 Encadrement

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $-1 \leqslant \cos x \leqslant 1 \qquad -1 \leqslant \sin x \leqslant 1$

---

2. Formulaire — propriétés et théorèmes

T1 — Valeurs remarquables (à savoir par cœur)

$x$	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\pi$
$\cos x$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$	$-1$
$\sin x$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$0$

T2 — Formules de symétrie

$\cos(-x) = \cos x \qquad \sin(-x) = -\sin x$

$\cos(\pi - x) = -\cos x \qquad \sin(\pi - x) = \sin x$

$\cos(\pi + x) = -\cos x \qquad \sin(\pi + x) = -\sin x$

$\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x \qquad \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$

T3 — Formules d'addition (nouveauté terminale)

Pour tous réels ${\color{#EE0000}{a}}$ et ${\color{#0070C0}{b}}$ :

$\cos({\color{#EE0000}{a}} + {\color{#0070C0}{b}}) = \cos {\color{#EE0000}{a}} \cos {\color{#0070C0}{b}} - \sin {\color{#EE0000}{a}} \sin {\color{#0070C0}{b}}$

$\cos({\color{#EE0000}{a}} - {\color{#0070C0}{b}}) = \cos {\color{#EE0000}{a}} \cos {\color{#0070C0}{b}} + \sin {\color{#EE0000}{a}} \sin {\color{#0070C0}{b}}$

$\sin({\color{#EE0000}{a}} + {\color{#0070C0}{b}}) = \sin {\color{#EE0000}{a}} \cos {\color{#0070C0}{b}} + \cos {\color{#EE0000}{a}} \sin {\color{#0070C0}{b}}$

$\sin({\color{#EE0000}{a}} - {\color{#0070C0}{b}}) = \sin {\color{#EE0000}{a}} \cos {\color{#0070C0}{b}} - \cos {\color{#EE0000}{a}} \sin {\color{#0070C0}{b}}$

Moyen mnémotechnique :

• cos(a±b) : « cos cos ∓ sin sin » (signe inversé)
• sin(a±b) : « sin cos ± cos sin » (signe conservé)

T4 — Formules de duplication (déduites de T3 avec $a = b$)

$\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$

$\sin(2a) = 2 \sin a \cos a$

T5 — Dérivées

$(\sin x)' = \cos x \qquad (\cos x)' = -\sin x$

Cas composé (avec ${\color{#0070C0}{u}}$ dérivable) :

$(\sin {\color{#0070C0}{u}})' = {\color{#0070C0}{u}}' \cos {\color{#0070C0}{u}} \qquad (\cos {\color{#0070C0}{u}})' = -{\color{#0070C0}{u}}' \sin {\color{#0070C0}{u}}$

⚠ Piège : la dérivée de $\cos$ contient un signe moins : $(\cos)' = -\sin$, pas $+\sin$.

T6 — Limites en $0$ (nombres dérivés)

$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 \qquad \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x - 1}{x} = 0$

Interprétation : ce sont les nombres dérivés de $\sin$ et $\cos$ en $0$.

T7 — Résolution d'équations $\cos x = a$ et $\sin x = a$

Équation $\cos x = \cos \alpha$ : $x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\alpha + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$

Équation $\sin x = \sin \alpha$ : $x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \alpha + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$

Cas particuliers. $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ ; $\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi$.

Aucune solution si $a \notin [-1\,;1]$.

---

3. Méthodes types au bac

M1 — Résoudre une équation $\cos x = a$ ou $\sin x = a$

Démarche.

1. Vérifier que $a \in [-1\,;1]$.
2. Identifier $\alpha$ tel que $\cos \alpha = a$ (ou $\sin \alpha = a$) en utilisant les valeurs remarquables.
3. Appliquer les formules générales.
4. Sélectionner les solutions dans l'intervalle demandé (souvent $[0\,;2\pi]$ ou $[-\pi\,;\pi]$).

Exemple. Résoudre $\cos x = \dfrac{1}{2}$ sur $[0\,;2\pi]$.

$\cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$. Solutions générales : $x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ ou $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$.

Dans $[0\,;2\pi]$ : $x = \dfrac{\pi}{3}$ et $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{3}$.

Où c'est tombé : régulier en QCM. Métropole 2022, Polynésie 2023, Amérique du Nord 2024.

---

M2 — Utiliser les formules d'addition

Type d'énoncé bac — deux directions :

• Calculer une valeur exacte : « Calculer $\cos\!\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)$. »

Décomposer : $\dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{4}$. Alors : $\cos\!\left(\dfrac{7\pi}{12}\right) = \cos\!\left(\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{4}\right) = \cos \dfrac{\pi}{3} \cos \dfrac{\pi}{4} - \sin \dfrac{\pi}{3} \sin \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt 2}{2} - \dfrac{\sqrt 3}{2} \cdot \dfrac{\sqrt 2}{2} = \dfrac{\sqrt 2 - \sqrt 6}{4}$

• Démontrer une identité : « Montrer que $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$. »

Utiliser $\sin(2x) = \sin(x + x) = \sin x \cos x + \cos x \sin x = 2 \sin x \cos x$.

Où c'est tombé : Métropole 2022, Polynésie 2023, en QCM Amérique du Nord 2024.

---

M3 — Étudier une fonction trigonométrique sur un intervalle

Démarche.

1. Réduire l'étude à un intervalle de longueur une période (souvent $[0\,;2\pi]$), voire à une demi-période via la parité.
2. Calculer $f'(x)$.
3. Étudier le signe de $f'$ sur cet intervalle (souvent en résolvant $f'(x) = 0$).
4. Dresser le tableau de variations avec les valeurs remarquables.
5. Compléter par périodicité / symétrie pour l'ensemble de définition.

Exemple. $f(x) = \sin(2x) - x$ sur $[0\,;\pi]$.

$f'(x) = 2\cos(2x) - 1$. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \cos(2x) = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 2x = \pm \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{6}$ ou $x = -\dfrac{\pi}{6}$ (modulo $\pi$), donc sur $[0\,;\pi]$ : $x = \dfrac{\pi}{6}$ et $x = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}$.

Signe de $f'$ : positif sur $\left[0\,;\dfrac{\pi}{6}\right]$, négatif sur $\left[\dfrac{\pi}{6}\,;\dfrac{5\pi}{6}\right]$, positif sur $\left[\dfrac{5\pi}{6}\,;\pi\right]$.

Où c'est tombé : Métropole sept. 2022, Polynésie 2024.

---

M4 — Utiliser $\dfrac{\sin x}{x} \to 1$ pour lever une F.I.

Exemple. $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(3x)}{x}$.

On pose $u = 3x$ (donc $x = u/3$). Alors $\dfrac{\sin(3x)}{x} = \dfrac{\sin u}{u/3} = 3 \times \dfrac{\sin u}{u}$.

Quand $x \to 0$, $u \to 0$ et $\dfrac{\sin u}{u} \to 1$. Donc $\lim = 3$.

Où c'est tombé : en QCM, Polynésie 2023, Métropole sept. 2024.

---

M5 — Dériver $\sin(u)$ ou $\cos(u)$

Rappel formule.

$(\sin {\color{#0070C0}{u}})' = {\color{#0070C0}{u}}' \cos {\color{#0070C0}{u}}$

$(\cos {\color{#0070C0}{u}})' = -{\color{#0070C0}{u}}' \sin {\color{#0070C0}{u}}$

Exemple. $f(x) = \sin(2x^2 + 1)$. ${\color{#0070C0}{u}}(x) = 2x^2 + 1$, ${\color{#0070C0}{u}}'(x) = 4x$.

$f'(x) = 4x \cos(2x^2 + 1)$.

Où c'est tombé : dans les études de fonctions avec trigo, Métropole 2022, Polynésie 2024.

---

M6 — Résoudre une équation trigonométrique plus complexe (avec formules d'addition ou de duplication)

Exemple. Résoudre $\sin(2x) = \sin x$ sur $[0\,;2\pi]$.

$\sin(2x) - \sin x = 0 \Leftrightarrow 2\sin x \cos x - \sin x = 0 \Leftrightarrow \sin x\,(2\cos x - 1) = 0$.

• $\sin x = 0 \Leftrightarrow x \in \{0\,;\pi\,;2\pi\}$.
• $2\cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{3}$ ou $x = \dfrac{5\pi}{3}$.

Solutions : $S = \left\{0\,;\dfrac{\pi}{3}\,;\pi\,;\dfrac{5\pi}{3}\,;2\pi\right\}$.

Où c'est tombé : Métropole 2022, Amérique du Nord 2024.

---

4. Analyse fréquentielle

• Les fonctions trigonométriques apparaissent dans environ 30 à 40 % des sujets de bac spécialité maths — moins que exp/log, mais présentes régulièrement.
• Format le plus fréquent : un exercice complet sur une fonction trigonométrique (Métropole sept. 2022, Polynésie 2023, 2024), noté 4 à 6 points.
• QCM classique :
  • Valeur d'un $\cos$ ou $\sin$ à un angle non remarquable via formule d'addition (M2).
  • Résolution d'équation $\cos x = a$ ou $\sin x = a$ (M1).
  • Dérivée d'une fonction composée $\sin(u)$ ou $\cos(u)$ (M5).
  • Limite $\dfrac{\sin(kx)}{x}$ (M4).
• Formule d'addition en QCM ou en question calculatoire : régulier — Polynésie 2023, Amérique du Nord 2024.
• Formule de duplication en identité : utilisée dans certains sujets pour simplifier une expression avant dérivation.
• Étude de fonction trigonométrique complète : environ 1 sujet sur 10, souvent centré sur un intervalle $[0\,;2\pi]$ ou $[0\,;\pi]$.

---

5. Erreurs fréquentes

1. Confondre les valeurs de $\sin$ et $\cos$ aux angles remarquables (surtout $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{\pi}{6}$).
2. Erreur de signe dans la dérivée : $(\cos)' = -\sin$, pas $+\sin$. Piège classique.
3. Oublier le facteur $u'$ dans $(\sin u)' = u' \cos u$.
4. Utiliser des degrés au lieu de radians : au bac, en analyse, tout est en radians.
5. Confondre les formules d'addition : $\cos(a+b)$ contient un $-$ ($\cos\cos - \sin\sin$), pas un $+$.
6. Oublier les solutions au-delà de la période : quand l'énoncé demande dans $[0\,;2\pi]$, il peut y avoir plusieurs solutions.
7. Résoudre $\cos x = 2$ en cherchant une solution : $\cos$ est borné entre $-1$ et $1$, aucune solution.
8. Confondre $\sin^2 x$ et $\sin(x^2)$ : $\sin^2 x = (\sin x)^2$, très différent de $\sin(x^2)$.
9. Oublier la périodicité en donnant seulement une famille de solutions au lieu des deux ($\cos x = a \Rightarrow x = \pm \alpha + 2k\pi$, deux familles).
10. Sauter les modulos $\pi$ ou $2\pi$ dans la résolution d'équation.

---

6. Formulaire à retenir

Objet	Formule / règle
Identité fondamentale	$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$
Parité	$\cos$ paire, $\sin$ impaire
Périodicité	Période $2\pi$ pour $\cos$ et $\sin$
Dérivées	$(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$
Dérivées composées	$(\sin u)' = u' \cos u$, $(\cos u)' = -u' \sin u$
Addition	$\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$
Duplication	$\sin(2a) = 2\sin a \cos a$ ; $\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a$
Encadrement	$-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$ ; idem pour $\sin$
Limites en 0	$\frac{\sin x}{x} \to 1$ ; $\frac{\cos x - 1}{x} \to 0$
Équation $\cos x = \cos \alpha$	$x = \pm\alpha + 2k\pi$
Équation $\sin x = \sin \alpha$	$x = \alpha + 2k\pi$ ou $x = \pi - \alpha + 2k\pi$

---

7. Annales à consulter sur vecteurmaths.fr

Peu d'exercices spécifiques à ce chapitre sont actuellement répertoriés — voir l'ensemble des annales sur vecteurmaths.fr.