Exercice 4 — Fonctions trigonométriques, Dérivation

1. On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0 ; 2 \pi]$ par :

$g(x)=x \cos (x)-\sin (x)$

On admet que la fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $[0 ; 2 \pi]$ et on note $g'$ sa dérivée.

• a) Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0 ; 2 \pi]$, on a :

  $g'(x)=-x \sin (x)$

• b) On donne le tableau de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0 ; 2 \pi]$ ci-dessous.

  Justifier chacun des éléments qui figurent dans ce tableau de variations.

  (Figure : voir le sujet PDF.)

• c) Montrer qu'il existe une unique valeur réelle $\alpha$ dans l'intervalle $[\pi ; 2 \pi]$ telle que $g(\alpha)=0$.

• d) En déduire le tableau de signes de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0 ; 2 \pi]$.

2. On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0 ; 2 \pi]$ par :

$f(x)=\dfrac{\sin (x)}{x}$

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0 ; 2 \pi]$ et on note $f'$ sa dérivée.

• a) Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0 ; 2 \pi]$ on a :

  $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^{2}}$

• b) Étudier le signe de la fonction $f'$ sur l'intervalle $]0 ; 2 \pi]$.

• c) En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; 2 \pi]$.

• d) Déterminer la limite de $f$ en 0. On pourra utiliser le taux d'accroissement de la fonction sinus en 0.

3. On considère deux nombres réels $r$ et $s$ qui vérifient l'inégalité : $0<r<s<\pi$.

Montrer que :

$\dfrac{r}{s}<\dfrac{\sin (r)}{\sin (s)}$