Exercice 2 — Combinatoire et dénombrement, Fonctions trigonométriques

*Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est juste ou fausse.

Chaque réponse doit être justifiée.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.*

• 1. Dans une classe de 24 élèves, il y a 14 filles et 10 garçons.

  Affirmation 1 :

  Il est possible de constituer 272 groupes différents de quatre élèves composés de deux filles et deux garçons.

• 2. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3\sin(2x + \pi)$ et $C$ sa courbe représentative dans un repère donné.

  Affirmation 2 :

  Une équation de la tangente à $C$ au point d’abscisse $\dfrac{\pi}{2}$ est $y = 6x - 3\pi$.

• 3. On considère la fonction $F$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $F(x) = (2x + 1)\ln (x)$.

  Affirmation 3 :

  La fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = \dfrac2x$.

• 4. On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(t) = 45\text{e}^{0,06t} + 20$.

  Affirmation 4 :

  La fonction $g$ est l’unique solution de l'équation différentielle

  $(E_1)\: ∶ y' + 0,06y = 1,2$ vérifiant $g(0) = 65$.

• 5. On considère l’équation différentielle :

  $(E_2) :\quad y' - y = 3\text{e}^{0,4x}$

  où $y$ est une fonction positive de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $y'$ la fonction dérivée de la fonction $y$.

  Affirmation 5 :

  Les solutions de l’équation $(E_2)$ sont des fonctions convexes sur $\mathbb{R}$.