Exercice 4 — Équations différentielles

Partie A

On considère l'équation différentielle

$(E_1) :\quad y' + 0{,}48y = \dfrac{1}{250},$

où $y$ est une fonction de la variable $t$ appartenant à l'intervalle $[0 ;  +\infty[$.

• 1. On considère la fonction constante $h$ définie sur l'intervalle $[0 ;  +\infty[$ par $h(t) = \dfrac{1}{120}$.

  Montrer que la fonction $h$ est solution de l'équation différentielle $(E_1)$.

• 2. Donner la forme générale des solutions de l'équation différentielle $y' + 0,48y = 0$.

• 3. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E_1)$.

Partie B

On s'intéresse à présent à l'évolution d'une population de bactéries dans un milieu de culture.

À un instant $t = 0$, on introduit une population initiale de 30000 bactéries dans le milieu. On note $p(t)$ la quantité de bactéries, exprimée en millier d'individus, présente dans le milieu après un temps $t$, exprimé en heure.

On a donc $p(0) = 30$.

On admet que la fonction $p$ définie sur l'intervalle $[0 ;  +\infty[$ est dérivable, strictement positive sur cet intervalle et qu'elle est solution de l'équation différentielle $(E_2)$ :

$p' = \dfrac{1}{250}p \times (120 - p)$

Soit $y$ la fonction strictement positive sur l'intervalle $[0 ;  +\infty[$ telle que, pour tout $t$ appartenant à l'intervalle $[0 ;  +\infty[$ , on a $p(t) = \dfrac{1}{y(t)}$.

• 1. Montrer que si $p$ est solution de l'équation différentielle $(E_2)$, alors $y$ est solution de l'équation différentielle $(E_1)$ : $y' + 0,48y = \dfrac{1}{250}$.

• 2. On admet réciproquement que, si $y$ est une solution strictement positive de l'équation différentielle $(E_1)$, alors $p = \dfrac 1y$ est solution de l'équation différentielle $(E_2)$.

  Montrer que, pour tout $t$ appartenant à l'intervalle $[0 ;  +\infty[$ , on a :

  $p(t) = \dfrac{120}{1 + K\text{e}^{-0,48t}}  \text{avec}\: K\: \text{une constante réelle}.$

• 3. En utilisant la condition initiale, déterminer la valeur de $K$.

• 4. Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} p(t)$. En donner une interprétation dans le contexte de l'exercice.

• 5. Déterminer le temps nécessaire pour que la population de bactéries dépasse 60000 individus.

  On donnera le résultat sous la forme d'une valeur arrondie exprimée en heures et minutes.