Exercice 4 — Dérivation et convexité, Combinatoire et dénombrement

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.

Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

• 1. On considère la fonction $f$ définie pour tout $x \in \mathbb{R}$ par $f(x) = x \text{e}^{(x^2)}$.

  Affirmation 1 : $f$ est concave sur $]-\infty ; 0]$.

• 2. Un refuge spécialisé accueille 24 rapaces numérotés de 1 à 24. Le refuge travaille avec trois vétérinaires. Afin d'administrer un soin à tous les oiseaux, le directeur veut donc former trois groupes, numérotés de 1 à 3, constitués chacun de 8 rapaces.

  Affirmation 2 : Le nombre de façons de répartir les rapaces dans les groupes 1 à 3 est :

  $\frac{24!}{(8!)^3}.$

• 3. Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$, solution de l'équation différentielle :

  $y' = -y + 1 \text{ sur } \mathbb{R}.$

  Affirmation 3 : La fonction $g$ définie pour tout $x \in \mathbb{R}$ par $g(x) = f(x) - 1$ vérifie

  $g' = -g.$

• 4. La suite $(u_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ non nul par :

  $u_n = \frac{\sin(n)}{n}.$

  Affirmation 4 : La suite $(u_n)$ n'admet pas de limite.

• 5. On a tracé ci-dessous la parabole d'équation $y = -x^2 + 4x + 1$ et la droite d'équation $y = x + 1$.

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  Affirmation 5 : L'aire du domaine grisé est égale à $6,5$ unités d'aire.