Exercice 3 — Suites définies par une fonction (uₙ₊₁ = f(uₙ)), Suites et récurrence

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $] - 1 ; +\infty[$ par

$f(x) = 4\ln(x + 1) - \dfrac{x^2}{25}$

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $] - 1 ; +\infty[$.

• 1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-1$.

• 2. Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]- 1 ; +\infty[$ , on a :

  $f'(x) = \dfrac{100- 2x - 2x^2}{25(x+1)}$

• 3. Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $] - 1 ; +\infty[$ puis en déduire que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle [2 ; 6,5].

• 4. On considère $h$ la fonction définie sur l'intervalle [2 ; 6,5] par $h(x) = f(x) - x$.

  On donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction $h$ :

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  Montrer que l’équation $h(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha \in [2 ; 6,5]$.

• 5. On considère le script suivant, écrit en langage Python:

       from math import *
   
       def f(x):
           return 4*log(1+x)-(x**2)/25
   
       def bornes(n):
            p = 1/10**n
            x = 6
            while f(x)-x > 0:
                x = x + p
           return (x-p, x)
  

  On rappelle qu'en langage Python:

• 6. la commande $\text{log} (x)$ renvoie la valeur $\ln x$ ;

• 7. la commande c$**$d renvoie la valeur de $\text{c}^{\text{d}}$.

  • a) Donner les valeurs renvoyées par la commande bornes(2).

    On donnera les valeurs arrondies au centième.

  • b) Interpréter ces valeurs dans le contexte de l'exercice.

Partie B

Dans cette partie, on pourra utiliser les résultats obtenus dans la partie A.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$, et, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = f\left(u_n\right)$

• 1. Montrer par récurrence que pour tout $n$ entier naturel,

  $2 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} < 6,5.$

• 2. En déduire que la suite $(u_n)$ converge vers une limite $\ell$.

• 3. On rappelle que le réel $\alpha$, défini dans la partie A, est la solution de l'équation $h(x) = 0$ sur l'intervalle [2 ; 6,5].

  Justifier que $\ell = \alpha$.