Exercice 2 — Équations différentielles, Fonction exponentielle

Un médicament est administré à un patient par voie intraveineuse.

La notice du médicament indique que:

• le traitement doit durer au moins 7 h ;

• lorsque sa quantité, en mg, présente dans le sang est supérieure ou égale à 3 mg, il y a un risque de toxicité.

On s'intéresse à la quantité de médicament présente dans le sang au cours du temps sachant que le patient reçoit une première dose de 1 mg.

Deux protocoles sont étudiés dans les deux parties qui sont indépendantes.

Partie A : étude du premier protocole

Après l'injection de la première dose, une quantité supplémentaire de médicament est administrée régulièrement et de façon continue à un patient mis sous perfusion.

Dans cette partie, on modélise la quantité de médicament présente dans le sang du patient par une fonction $q$ définie sur $[0 ; +\infty[$, où $q(t)$ désigne la quantité, en mg, de médicament présente dans le sang du patient, et $t$ représente le temps, en heure, écoulé depuis l'injection initiale. On a ainsi $q(0) = 1$.

On admet que :

• la fonction $q$ est dérivable sur $[0 ;+\infty[$ et on note $q'$ sa fonction dérivée ;

• la fonction $q$ est solution sur $[0 ;+\infty[$ de l'équation différentielle $(E)$ :

$y' = -\frac{3}{10}y + 1$

où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$, et $y'$ sa fonction dérivée.

• 1. Donner les solutions sur $[0 ; +\infty[$ de l'équation différentielle $(E)$.

• 2. Montrer que pour tout réel $t$ appartenant à $[0 ; +\infty[$, $q(t) = \dfrac{10}{3} - \dfrac{7}{3}\text{e}^{-\frac{3}{10}t}$.

• 3. Déterminer la limite de la fonction $q$ en $+\infty$. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

• 4. Étudier les variations de la fonction $q$ sur $[0 ;+\infty[$.

• 5. Déterminer, en résolvant une inéquation, au bout de combien de temps après l'injection initiale le médicament présente un risque pour le patient. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-1}$.

• 6. D'après ce modèle, le protocole présente-t-il un risque pour le patient ? Justifier.

Partie B : étude du second protocole

On injecte au patient une première dose de médicament de 1 mg. On admet que la quantité de médicament présente dans le sang du patient baisse de 30 % toutes les heures. Pour compenser cette baisse, on injecte une dose supplémentaire de 0,75 mg de médicament toutes les heures.

On modélise la situation par une suite $(u_n)$, où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente la quantité, en mg, de médicament présente dans le sang du patient au bout de $n$ heures écoulées depuis l'injection initiale.

Sous ces conditions, on a $u_0 = 1$.

• 1. Justifier que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,7 \times u_n + 0,75$.

• 2.

  • a) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4$.

  • b) En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

  • c) Déterminer la limite $\ell$ de la suite $(u_n)$.

  • d) D'après ce modèle, le traitement présente-t-il un risque pour le patient ? Justifier.

• 3. On considère la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - 2,5$.

  • a) Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le terme initial.

  • b) Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 2,5 - 1,5 \times 0,7^n$.

• 4. D'après ce modèle, au bout de combien d'injections supplémentaires la quantité de médicament présente dans le sang de ce patient dépasse-t-elle 2,4 mg ?