Exercice 4 — Dérivation, Équations différentielles

Partie A

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé trois courbes $\mathcal{C}_{1}$,, $\mathcal{C}_{2}$ et $\mathcal{C}_{3}$,.

Les courbes correspondent aux représentations graphiques de trois fonctions définies sur $\mathbb{R}$ : une fonction $f$, sa dérivée $f'$ et sa dérivée seconde $f''$.

(Figure : voir le sujet PDF.)

Associer chacune des fonctions $f$, $f'$ et $f''$ à sa courbe représentative. Aucune justification n'est attendue.

Partie B

On considère l'équation différentielle $(E)$ définie par $y'+y=(2 x-3) \text{e}^{-x}$ où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$.

• 1. On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par

  $g(x)=\left(x^{2}-3 x\right) \text{e}^{-x}$

  Démontrer que la fonction $g$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.

• 2. Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $y'+y=0$.

• 3. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.

• 4. Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ telle que $f(0)=2$.

Partie C

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$f(x)=\text{e}^{-x}\left(x^{2}-3 x+2\right)$

et on note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

• 1. Étudier le signe de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

• 2.

  • a) Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.

  • b) Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.

• 3. On note I l'intégrale définie par :

  $I=\int_{0}^{1} f(x) \text{d} x$

  • a) À l'aide de deux intégrations par parties successives, démontrer que $I=1-\dfrac{1}{\text{e}}$.

  • b) Interpréter graphiquement ce résultat.

Partie D

On considère un réel $a$.

On note $\left(T_{a}\right)$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $a$.

• 1. Démontrer que le point d'intersection de la tangente $(T_{a})$ et de l'axe des ordonnées a pour ordonnée

  $\left(a^{3}-4 a^{2}+2 a+2\right) \text{e}^{-a}$

• 2. Déterminer le nombre de tangentes à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ passant par l'origine du repère.

  Le candidat explicitera les étapes de la démarche utilisée.