ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Terminale · Spécialité Mathématiques · Thème : Analyse (Intégration & Équations différentielles)

---

Place dans le programme et prérequis

Ce chapitre introduit les équations différentielles, où l'inconnue n'est pas un nombre mais une fonction. Depuis la réforme du bac (2020), il tombe régulièrement — souvent intégré à un exercice de modélisation d'un phénomène physique (décroissance radioactive, refroidissement d'un objet, évolution d'une population, circuit RC, etc.). Le programme officiel se limite à trois types d'équations, très codifiés.

Prérequis indispensables :

• Fonction exponentielle (solutions faisant intervenir $e^{ax}$)
• Primitives (résolution de $y' = f(x)$)
• Dérivation (calcul et vérification de dérivée)

Chapitre débouchant sur : applications concrètes (physique, SVT, économie).

---

1. Notions clés

1.1 Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction $y$, et qui met en relation cette fonction et sa dérivée $y'$ (voire $y''$, etc.).

Exemples :

• $y' = 2y$
• $y' = 3y + 5$
• $y' = \cos x$
• $y'' + y = 0$ (hors programme au bac spé)

1.2 Solution

Une solution de l'équation différentielle sur un intervalle $I$ est une fonction $y$ définie et dérivable sur $I$ qui vérifie l'équation pour tout $x \in I$.

Exemple. $y(x) = e^{2x}$ est une solution de $y' = 2y$ sur $\mathbb{R}$, car $y'(x) = 2\,e^{2x} = 2\,y(x)$.

1.3 Ensemble des solutions

Une équation différentielle possède généralement une infinité de solutions — une famille paramétrée par une constante ${\color{#EE0000}{C}} \in \mathbb{R}$.

Solution générale : l'expression de toutes les solutions avec la constante.

Solution particulière : solution obtenue en fixant une valeur pour la constante, typiquement à l'aide d'une condition initiale $y(x_0) = y_0$.

1.4 Trois types au programme

Équation	Sens
$y' = f(x)$	La dérivée est donnée ; résolution par primitive
$y' = a\,y$	Équation linéaire homogène (croissance/décroissance proportionnelle)
$y' = a\,y + b$	Équation linéaire avec second membre constant

---

2. Formulaire — théorèmes et propriétés

T1 — Résolution de $y' = f(x)$

Les solutions de $y' = f(x)$ sur un intervalle $I$ sont les primitives de $f$ sur $I$ : $y(x) = F(x) + {\color{#EE0000}{C}}, \quad {\color{#EE0000}{C}} \in \mathbb{R}$

où $F$ est une primitive de $f$.

T2 — Résolution de $y' = a\,y$ (avec ${\color{#0070C0}{a}} \in \mathbb{R}$)

Les solutions de $y' = {\color{#0070C0}{a}}\,y$ sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions de la forme : $y(x) = {\color{#EE0000}{C}}\,e^{{\color{#0070C0}{a}}\,x}, \quad {\color{#EE0000}{C}} \in \mathbb{R}$

Vocabulaire : ${\color{#0070C0}{a}}$ est le coefficient de l'équation ; il apparaît directement dans l'exposant de l'exponentielle.

T3 — Résolution de $y' = a\,y + b$ (avec ${\color{#0070C0}{a}} \ne 0$)

Les solutions de $y' = {\color{#0070C0}{a}}\,y + {\color{#00B050}{b}}$ sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions de la forme : $y(x) = {\color{#EE0000}{C}}\,e^{{\color{#0070C0}{a}}\,x} - \dfrac{{\color{#00B050}{b}}}{{\color{#0070C0}{a}}}, \quad {\color{#EE0000}{C}} \in \mathbb{R}$

Décomposition à comprendre :

• La solution particulière constante $y_p = -\dfrac{{\color{#00B050}{b}}}{{\color{#0070C0}{a}}}$ vérifie l'équation ($y_p' = 0$ et ${\color{#0070C0}{a}}\,y_p + {\color{#00B050}{b}} = -{\color{#00B050}{b}} + {\color{#00B050}{b}} = 0$ ✓).
• La solution générale de l'équation homogène $y' = {\color{#0070C0}{a}}\,y$ est ${\color{#EE0000}{C}}\,e^{{\color{#0070C0}{a}}\,x}$ (par T2).
• La solution générale est la somme : solution particulière + solution homogène.

T4 — Unicité de la solution vérifiant une condition initiale

Pour toute condition initiale $y(x_0) = y_0$, il existe une unique solution vérifiant cette condition.

En pratique : la constante ${\color{#EE0000}{C}}$ est déterminée en substituant $x = x_0$ dans la solution générale.

---

3. Méthodes types au bac

M1 — Résoudre $y' = a\,y$

Démarche.

1. Identifier le coefficient ${\color{#0070C0}{a}}$.
2. Écrire directement la solution générale $y(x) = {\color{#EE0000}{C}}\,e^{{\color{#0070C0}{a}}\,x}$.

Exemple. Résoudre $y' = -3y$.

Solution générale : $y(x) = {\color{#EE0000}{C}}\,e^{-3x}$, ${\color{#EE0000}{C}} \in \mathbb{R}$.

Où c'est tombé : régulier en QCM ou question de cours. Métropole 2022, Polynésie 2023.

---

M2 — Résoudre $y' = a\,y + b$ (méthode canonique)

Démarche.

1. Identifier les coefficients ${\color{#0070C0}{a}}$ (vérifier ${\color{#0070C0}{a}} \ne 0$) et ${\color{#00B050}{b}}$.
2. Trouver la solution particulière constante $y_p = -\dfrac{{\color{#00B050}{b}}}{{\color{#0070C0}{a}}}$ (rédigée : « une solution particulière constante est $y_p = -\dfrac{{\color{#00B050}{b}}}{{\color{#0070C0}{a}}}$ »).
3. Écrire la solution générale de l'équation homogène $y' = {\color{#0070C0}{a}}\,y$ : $y_h(x) = {\color{#EE0000}{C}}\,e^{{\color{#0070C0}{a}}\,x}$.
4. Solution générale : $y(x) = y_h + y_p = {\color{#EE0000}{C}}\,e^{{\color{#0070C0}{a}}\,x} - \dfrac{{\color{#00B050}{b}}}{{\color{#0070C0}{a}}}$.

Exemple. Résoudre $y' = 2y - 6$.

${\color{#0070C0}{a}} = 2$, ${\color{#00B050}{b}} = -6$.

Solution particulière constante : $y_p = -\dfrac{{\color{#00B050}{b}}}{{\color{#0070C0}{a}}} = -\dfrac{-6}{2} = 3$.

Solution homogène : $y_h(x) = {\color{#EE0000}{C}}\,e^{2x}$.

Solution générale : $y(x) = {\color{#EE0000}{C}}\,e^{2x} + 3$, ${\color{#EE0000}{C}} \in \mathbb{R}$.

Où c'est tombé : systématique. Métropole 2021, 2022, sept. 2023, juin 2024 ; Polynésie 2023, 2024 ; Amérique du Nord 2024.

---

M3 — Résoudre $y' = f(x)$ par recherche de primitive

Démarche. Chercher une primitive $F$ de $f$ (voir fiche Primitives), puis : $y(x) = F(x) + {\color{#EE0000}{C}}$

Exemple. Résoudre $y' = 3x^2 - 2x$.

Une primitive : $F(x) = x^3 - x^2$. Solution générale : $y(x) = x^3 - x^2 + {\color{#EE0000}{C}}$.

---

M4 — Résoudre avec une condition initiale $y(x_0) = y_0$

Démarche.

1. Résoudre l'équation différentielle (méthode M1, M2 ou M3) — obtenir la solution générale.
2. Substituer $x = x_0$ dans la solution générale et l'égaler à $y_0$.
3. Résoudre pour ${\color{#EE0000}{C}}$.
4. Remplacer ${\color{#EE0000}{C}}$ par sa valeur dans la solution générale — obtenir la solution particulière cherchée.

Exemple. Résoudre $y' = 2y - 6$ avec $y(0) = 1$.

Solution générale : $y(x) = {\color{#EE0000}{C}}\,e^{2x} + 3$.

Condition : $y(0) = {\color{#EE0000}{C}} + 3 = 1$, donc ${\color{#EE0000}{C}} = -2$.

Solution cherchée : $y(x) = -2\,e^{2x} + 3$.

Où c'est tombé : presque toujours après M2, systématique.

---

M5 — Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle

Type d'énoncé : « Montrer que $y(x) = e^{-2x} - 1$ est solution de $y' + 2y + 2 = 0$. »

Démarche.

1. Calculer $y'(x)$.
2. Substituer $y$ et $y'$ dans l'équation.
3. Vérifier que l'égalité tient.

Exemple. $y(x) = e^{-2x} - 1$. Alors $y'(x) = -2\,e^{-2x}$.

$y' + 2y + 2 = -2\,e^{-2x} + 2(e^{-2x} - 1) + 2 = -2\,e^{-2x} + 2\,e^{-2x} - 2 + 2 = 0$. ✓

Où c'est tombé : question initiale fréquente. Métropole 2022, Polynésie 2023.

---

M6 — Résoudre $y' = a\,y + f(x)$ (avec second membre variable) — cas guidé

Contexte : au programme, l'équation $y' = a\,y + f(x)$ n'est pas résolue directement. L'énoncé guide la résolution en demandant :

1. Vérifier qu'une fonction $g$ donnée est solution particulière.
2. Changement de fonction : poser $z = y - g$. Montrer que $z$ vérifie $z' = a\,z$ (équation homogène).
3. Résoudre $z' = a\,z$ (méthode M1) : $z(x) = {\color{#EE0000}{C}}\,e^{a\,x}$.
4. Revenir à $y$ : $y = z + g = {\color{#EE0000}{C}}\,e^{a\,x} + g(x)$.

Où c'est tombé : Métropole juin 2022, sept. 2023, Polynésie 2024.

---

M7 — Modélisation d'un problème appliqué

Contexte : l'énoncé décrit un phénomène physique (température, radioactivité, dynamique de population...). L'énoncé donne l'équation ou demande de la trouver.

Démarche.

1. Lire attentivement l'énoncé pour identifier les grandeurs (souvent : $y$ = quantité étudiée, $t$ = temps, $a$ = constante de vitesse).
2. Traduire la loi physique en équation différentielle (souvent donnée dans l'énoncé).
3. Résoudre (M1, M2, ou M6).
4. Utiliser la condition initiale pour trouver la constante.
5. Interpréter dans le contexte (donner la limite, calculer une valeur à un instant $t$, etc.).

Exemples classiques au bac :

• Décroissance radioactive : $\dfrac{dN}{dt} = -\lambda N$ → $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$. Demi-vie : $T = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$.
• Refroidissement (loi de Newton) : $\dfrac{d\theta}{dt} = -k(\theta - \theta_{\text{air}})$ (équation type $y' = ay + b$).
• Croissance logistique freinée : $y' = a\,y - b\,y^2$ (hors programme, souvent linéarisée).

Où c'est tombé : Métropole 2022, sept. 2023 (décroissance), Polynésie 2023 (refroidissement), Amérique du Nord 2024.

---

4. Analyse fréquentielle

• Les équations différentielles apparaissent dans environ 40 % des sujets de bac spécialité maths — souvent en exercice à part entière (5 à 7 points), parfois en question courte dans un exercice de physique-modélisation.
• Format le plus fréquent — deux configurations :
  1. Exercice court « pur » — résoudre $y' = ay + b$ avec condition initiale (M2 + M4).
  2. Exercice long modélisation — un phénomène physique donne une équation, résolution, interprétation, calcul à un instant précis, comportement asymptotique.
• Solution particulière $y' = ay + b$ (M2) : systématique.
• Condition initiale (M4) : presque toujours associée à M2 pour extraire une solution unique.
• Vérification de solution (M5) : question initiale fréquente.
• Changement de fonction pour $y' = ay + f(x)$ (M6) : structure canonique fréquente, exercice long guidé.
• Interprétation physique (M7) : systématique dans les exercices de modélisation — limite en $+\infty$, valeur à un temps précis.
• QCM : rare mais possible — reconnaissance d'une solution parmi 4 propositions.

---

5. Erreurs fréquentes

1. Écrire $y = C\,e^{ax} + b$ au lieu de $C\,e^{ax} - \dfrac{b}{a}$ pour l'équation $y' = ay + b$.
2. Erreur de signe dans $-\dfrac{b}{a}$ : bien conserver le signe moins.
3. Confondre coefficient et signe : dans $y' = -2y$, le coefficient est $a = -2$, donc la solution est $C\,e^{-2x}$, pas $C\,e^{2x}$.
4. Oublier la constante $C$ dans la solution générale : la famille des solutions doit toujours contenir cette constante libre.
5. Utiliser la condition initiale sans avoir la solution générale complète : la condition sert à fixer $C$ après avoir écrit la famille.
6. Confondre solution particulière et solution générale : la solution particulière est une seule fonction (constante ou pas), la solution générale est toute la famille.
7. Résoudre $y' = a\,y + b$ avec $a = 0$ en utilisant T3 : la formule ne s'applique pas ($-b/a$ n'a pas de sens). Il faut résoudre $y' = b$ par primitive.
8. Oublier de vérifier qu'une fonction est bien solution quand l'énoncé le demande (question M5).
9. Ne pas simplifier la solution après avoir substitué $C$ : « $-2\,e^{2x} + 3$ » est plus lisible que « $C\,e^{2x} + 3$ avec $C = -2$ ».
10. Confondre $y'$ et $\dot{y}$ dans un contexte physique : ce sont deux notations pour la dérivée par rapport au temps.

---

6. Formulaire à retenir

Équation	Solution générale
$y' = f(x)$	$y(x) = F(x) + C$ (F primitive de f)
$y' = a\,y$	$y(x) = C\,e^{a\,x}$
$y' = a\,y + b$ (avec $a \ne 0$)	$y(x) = C\,e^{a\,x} - \dfrac{b}{a}$
$y' = a\,y + f(x)$ (guidé)	Changement $z = y - g$, résoudre $z' = az$

Rappel — signes :

• $a > 0$ : croissance exponentielle (limite $+\infty$).
• $a < 0$ : décroissance exponentielle vers $-\dfrac{b}{a}$.

Décomposition à retenir :

$\text{Solution générale (y' = ay + b)} = \text{Solution particulière constante} + \text{Solution homogène}$

Solution particulière constante : $y_p = -\dfrac{b}{a}$.

Solution homogène : $y_h = C\,e^{ax}$.

---

7. Annales à consulter sur vecteurmaths.fr

Résolution $y' = ay + b$ avec condition initiale (M2 + M4) — exercice-type :

• Métropole — 2021 J1 ex. 5 · 2024 J1 ex. 1 · 2024 J2 ex. 3
• Polynésie — 2024 J1 ex. 2 · 2024 J2 ex. 2
• Amérique du Sud — 2024 J1 ex. 1 · 2024 J2 ex. 2
• Asie — 2024 J2 ex. 3
• Centres Étrangers — 2024 J1 ex. 3

Changement de fonction pour second membre non constant (M6) :

• Polynésie — 2024 J1 ex. 2 · 2024 J2 ex. 2

Résolution $y' = f(x)$ par primitive (M3) :

• Polynésie — 2024 J1 ex. 2 · 2024 J1 ex. 2 · 2024 J2 ex. 2