Exercice 3 — Équations différentielles, Dérivation et convexité

*Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.

Justifier chaque réponse.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.*

• 1. Le plan est muni d'un repère orthonormé.

  • a) On considère l'équation différentielle $\left(E_{1}\right): \quad y'+2 y=0$, où $y$ est une fonction de la variable $x$ définie sur $\mathbb{R}$.

    On note $f$ la solution de l'équation différentielle $(E_{1})$ telle que $f(0)=1$.

    Affirmation 1 : La courbe représentative de la fonction $f$ passe par le point A de coordonnées $\left(\ln 2 ; \dfrac{1}{2}\right)$.

  • b) On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left[\dfrac{\pi}{2} ; \pi\right]$ par :

    $f(x)=x-\cos (x)$

    Affirmation 2 : Sur l'intervalle $\left[\dfrac{\pi}{2} ; \pi\right]$, la courbe représentative de la fonction $f$ est au-dessus de ses tangentes.

  • c) On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $] 0 ;+\infty[$ par :

    $f(x)=1+\dfrac{\sin (x)}{x}$

    Affirmation 3 : La droite d'équation $y=1$ est une asymptote horizontale de la courbe représentative de la fonction $f$.

• 2. On considère l'équation différentielle $\left(E_{2}\right): \quad y'-3 y=2-6 x$, où $y$ est une fonction de la variable $x$ définie sur $\mathbb{R}$.

  Affirmation 4 : La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

  $f(x)=2 x-\text{e}^{3 x}$

  est une solution de l'équation $(E_{2})$.