Exercice 2 — Suites et récurrence

On étudie un groupe de 3000 sportifs qui pratiquent soit l'athlétisme dans le club A, soit le basketball dans le club B.

En 2023, le club A compte 1700 membres et le club B en compte 1300.

On décide de modéliser le nombre de membres du club A et du club B respectivement par deux suites $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$, où $n$ désigne le rang de l'année à partir de 2023.

L'année 2023 correspond au rang 0. On a alors $a_{0}= 1700$ et $b_{0} = 1300$.

Pour notre étude, on fait les hypothèses suivantes :

• durant l'étude, aucun sportif ne quitte le groupe ;

• chaque année, $15$ des sportifs du club A quittent ce club et adhèrent au club B ;

• chaque année, $10$ des sportifs du club B quittent ce club et adhèrent au club $A$.

• 1. Calculer les nombres de membres de chaque club en 2024.

• 2. Pour tout entier naturel $n$, déterminer une relation liant $a_{n}$ et $b_{n}$.

• 3. Montrer que la suite $\left(a_{n}\right)$ vérifie la relation suivante pour tout entier naturel $n$, on a :

  $a_{n+1}= 0,75 a_{n} + 300.$

• 4.

  • a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a :

    $1200 \leqslant a_{n+1} \leqslant a_{n} \leqslant 1700.$

  • b) En déduire que la suite $\left(a_{n}\right)$ converge.

• 5. Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=a_{n}- 1200$.

  • a) Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique.

  • b) Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.

  • c) En déduire que pour tout entier naturel $n, a_{n}= 500 \times 0,75^{n}+ 1200$.

• 6.

  • a) Déterminer la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$.

  • b) Interpréter le résultat de la question précédente dans le contexte de l'exercice.

• 7.

  • a) Recopier et compléter le programme Python ci-dessous afin qu'il renvoie la plus petite valeur de n à partir de laquelle le nombre de membres du club A est strictement inférieur à 1280.

    (Figure : voir le sujet PDF.)

    def&seuil() :
    &n = 0
    &A = 1700
    &while ... :
    &     n=n+1
    &     A = …
    &return…
    

  • b) Déterminer la valeur renvoyée lorsqu'on appelle la fonction seuil.