Exercice 1 — Suites définies par une fonction (uₙ₊₁ = f(uₙ)), Suites et récurrence

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $\left]-\infty ; \dfrac{3}{2}\right [$ par :

$f(x)=\dfrac{x-2}{2 x-3}$

• 1. Justifier tous les éléments du tableau de variation ci-dessous.

(Figure : voir le sujet PDF.)

• 1. En déduire que pour tout $x \in[0 ; 1]$, on a :

  $f(x) \in[0 ; 1].$

Partie B

On considère la suite $(u_{n})$ définie par :

u_{0}=0 u_{n+1}=\dfrac{u_{n}-2}{2 u_{n}-3}\, ,\quad \text { pour tout entier naturel } n \end{cases}$$ - **1.** En utilisant la fonction $f$, démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $$0 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 1.$$ - **2.** En déduire que la suite $(u_{n})$ converge. - **3.** On note $\ell$ la limite de la suite $(u_{n})$. En admettant que $\ell$ est solution de l'équation $f(x)=x$ sur l'intervalle $[0 ; 1]$, montrer que $\ell=1$. - **4.** On donne ci-dessous une fonction `seuil` écrite en langage Python. *(Tableau : voir le sujet PDF.)* L'appel  `seuil(0.0001)`  renvoie la valeur 5000. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice. - **5.** - **a)** Donner les quatre premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ sous forme de fractions irréductibles. - **b)** Conjecturer l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ et démontrer cette conjecture.