Exercice 1 — Probabilités conditionnelles et arbres, Suites et récurrence

Un tireur à l'arc s'entraîne sur une cible dans le but d'atteindre son centre.

On modélise la situation de la façon suivante :

• au premier tir, il atteint le centre de la cible avec une probabilité de $\dfrac{1}{2}$;

• pour les tirs suivants :

• lorsqu'il a atteint le centre de la cible au tir précédent, la probabilité qu'il atteigne à nouveau le centre de la cible est $\dfrac{4}{5}$;

• lorsqu'il n'a pas atteint le centre de la cible au tir précédent, la probabilité qu'il atteigne le centre de la cible est $\dfrac{1}{3}$.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère l'événement $T_{n}:$ « Le tireur atteint le centre de la cible au $n$-ième tir ».

On note $p_{n}=P\left(T_{n}\right)$ la probabilité que l'évènement $T_{n}$ se réalise.

• 1. Donner la valeur de $p_{1}$ et montrer que $p_{2}=\dfrac{17}{30}$.

• 2. Recopier sur la copie l'arbre de probabilité suivant et compléter les pointillés avec les probabilités qui conviennent :

  (Figure : voir le sujet PDF.)

• 3. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul :

  $p_{n+1}=\dfrac{7}{15} p_{n}+\dfrac{1}{3}$

• 4. On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par :

  $u_{n}=p_{n}-\dfrac{5}{8}$

  • a) Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{7}{15}$.

  • b) Déterminer une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.

  • c) En déduire une expression de $p_{n}$ en fonction de $n$.

• 5. Déterminer la limite de la suite $(p_{n})$ et interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice.

• 6. On considère ci-dessous une fonction seuil, incomplète, écrite en langage Python.

  Recopier cette fonction sur la copie en complétant les pointillés afin qu'elle renvoie la plus petite valeur de l'entier $n$ telle que $p_{n}$ soit supérieur ou égal à 0,6.

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

• 7. Résoudre dans $\mathbb{N}$ l'inéquation $p_{n} \geqslant 0,6$.