Exercice 1 — Dérivation, Dérivation et convexité

Partie A

Le plan est muni d'un repère orthogonal.

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. On note $f'$ sa fonction dérivée. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée $f'$.

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

Dans cette partie, les résultats seront obtenus par lecture graphique de la courbe représentative de la fonction dérivée $f'$. Aucune justification n'est demandée.

• 1. Donner le sens de variation de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$. On utilisera des valeurs approchées si besoin.
• 2. Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble être convexe.

Partie B

On admet que la fonction $f$ de la partie $\mathbf{A}$ est définie sur $\mathbb{R}$ par

$f(x)=\left(x^{2}- 5 x + 6\right) \mathrm{e}^{x}.$

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère.

• 1.

  • a) Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.

  • b) Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.

• 2. Montrer que, pour tout réel $x$, on a $f'(x)=\left(x^{2}-3 x+1\right) \mathrm{e}^{x}$.

• 3. En déduire le sens de variation de la fonction $f$.

• 4. Déterminer l'équation réduite de la tangente $(\mathcal{T})$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. On note $f''$ la fonction dérivée seconde de la fonction $f$. On admet que, pour tout réel $x$, on a $f''(x) = (x + 1)(x - 2) \mathrm{e}^{x}$.

• 1.

  • a) Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

  • b) Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[-1 ; 2]$, on a $f(x) \leqslant x + 6$.