SUITES ET RÉCURRENCE

Terminale · Spécialité Mathématiques · Thème : Analyse (Suites)

---

Place dans le programme et prérequis

Ce chapitre pose la démonstration par récurrence, outil transversal du programme de terminale, et consolide les notions générales sur les suites (variations, majoration/minoration, sommes usuelles). C'est un chapitre pivot : la récurrence est réutilisée dans presque tous les exercices sur les suites, et souvent au-delà (arithmétique, analyse).

Prérequis indispensables :

• Suites arithmétiques et géométriques (première)
• Manipulation des inégalités et opérations sur $\mathbb{R}$
• Vocabulaire : suite, terme général, indice, terme initial

Chapitre débouchant sur : Limites de suites (récurrence + majoration/minoration → théorème de convergence monotone), Suites définies par une fonction (étude de $u_{n+1} = f(u_n)$).

---

1. Notions clés

1.1 Rappels sur les suites

Une suite numérique est une fonction de $\mathbb{N}$ (ou d'une partie de $\mathbb{N}$) dans $\mathbb{R}$. On note $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ou plus simplement $(u_n)$.

Une suite peut être définie de deux manières :

• Explicitement : $u_n = f(n)$ (ex : $u_n = 2n + 3$).
• Par récurrence : $u_0$ donné et $u_{n+1} = g(u_n)$ (ex : $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2u_n + 1$).

1.2 Sens de variation

• $(u_n)$ est croissante si pour tout $n$, $u_{n+1} \geqslant u_n$.
• $(u_n)$ est décroissante si pour tout $n$, $u_{n+1} \leqslant u_n$.
• $(u_n)$ est monotone si elle est croissante ou décroissante.

1.3 Majoration, minoration, bornage

• $(u_n)$ est majorée s'il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $n$, $u_n \leqslant M$.
• $(u_n)$ est minorée s'il existe $m \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $n$, $u_n \geqslant m$.
• $(u_n)$ est bornée si elle est majorée et minorée.

1.4 Principe de récurrence

Soit $\mathcal{P}(n)$ une propriété dépendant d'un entier naturel $n$. Si :

1. Initialisation : $\mathcal{P}(n_0)$ est vraie (pour un certain rang initial $n_0$) ;
2. Hérédité : pour tout entier $n \geqslant n_0$, si $\mathcal{P}(n)$ est vraie, alors $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie ;

alors $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier $n \geqslant n_0$.

📌 Image mentale : une échelle. L'initialisation = « je peux monter sur le premier barreau ». L'hérédité = « depuis n'importe quel barreau, je peux monter au suivant ». Conclusion : je peux atteindre tous les barreaux.

---

2. Formulaire — théorèmes et propriétés

T1 — Principe de démonstration par récurrence

Structure canonique en trois étapes obligatoires :

• Initialisation : on vérifie $\mathcal{P}(n_0)$.
• Hérédité : on suppose $\mathcal{P}(n)$ vraie pour un entier $n \geqslant n_0$ fixé quelconque (hypothèse de récurrence), et on démontre $\mathcal{P}(n+1)$.
• Conclusion : par récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout $n \geqslant n_0$.

T2 — Suite arithmétique de raison $r$

$u_{n+1} = u_n + {\color{#00B050}{r}} \qquad u_n = u_0 + n\,{\color{#00B050}{r}} \qquad u_n = u_p + (n - p)\,{\color{#00B050}{r}}$

Somme des $n+1$ premiers termes :

$u_0 + u_1 + \cdots + u_n = (n+1) \times \dfrac{u_0 + u_n}{2}$

T3 — Suite géométrique de raison $q$

$u_{n+1} = {\color{#0070C0}{q}} \times u_n \qquad u_n = u_0 \times {\color{#0070C0}{q}}^{\,n} \qquad u_n = u_p \times {\color{#0070C0}{q}}^{\,n-p}$

Somme des $n+1$ premiers termes (avec ${\color{#0070C0}{q}} \ne 1$) :

$u_0 + u_1 + \cdots + u_n = u_0 \times \dfrac{1 - {\color{#0070C0}{q}}^{\,n+1}}{1 - {\color{#0070C0}{q}}}$

T4 — Étudier le sens de variation

Trois méthodes selon la nature de la suite :

• Différence : on étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$.
• Quotient (si $u_n > 0$) : on compare $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$.
• Fonction associée (si $u_n = f(n)$) : le sens de variation de $f$ sur $[0\,;+\infty[$ donne celui de $(u_n)$.
• Récurrence (si $u_{n+1} = g(u_n)$) : on démontre par récurrence l'inégalité $u_{n+1} \geqslant u_n$.

T5 — Sommes usuelles à connaître

$\sum_{k=0}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2} \qquad \sum_{k=0}^{n} q^k = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \; (q \ne 1)$

---

3. Méthodes types au bac

M1 — Démontrer une égalité par récurrence

Type d'énoncé : « Démontrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = 3 \times 2^n - 1$. »

Rédaction canonique (à respecter à la lettre au bac) :

Notons $\mathcal{P}(n)$ la propriété : « $u_n = 3 \times 2^n - 1$ ».

Initialisation. Pour $n = 0$ : $u_0 = 2$ (donné) et $3 \times 2^0 - 1 = 3 - 1 = 2$. Donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité. Supposons $\mathcal{P}(n)$ vraie pour un entier $n \in \mathbb{N}$ fixé quelconque, c'est-à-dire $u_n = 3 \times 2^n - 1$ (hypothèse de récurrence, notée H.R.). Montrons alors $\mathcal{P}(n+1)$, c'est-à-dire $u_{n+1} = 3 \times 2^{n+1} - 1$.

On a $u_{n+1} = 2u_n + 1$ (relation de récurrence donnée)

$u_{n+1} = 2\,(3 \times 2^n - 1) + 1$ (par H.R.)

$u_{n+1} = 3 \times 2^{n+1} - 2 + 1 = 3 \times 2^{n+1} - 1$.

Donc $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.

Conclusion. Par le principe de récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Points-clés notés en gras au bac : énoncer $\mathcal{P}(n)$, dire « fixé quelconque », citer l'H.R. au moment précis où elle est utilisée, écrire la conclusion.

Où c'est tombé : Métropole juin 2021, Amérique du Nord 2022, Métropole juin 2023, Polynésie 2023, Métropole sept. 2024, Asie 2025.

---

M2 — Démontrer une inégalité (encadrement) par récurrence

Type d'énoncé : « Démontrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, ${\color{#EE0000}{0}} \leqslant u_n \leqslant {\color{#0070C0}{3}}$. »

Rédaction canonique.

Notons $\mathcal{P}(n)$ la propriété : « ${\color{#EE0000}{0}} \leqslant u_n \leqslant {\color{#0070C0}{3}}$ ».

Initialisation. $u_0 = 1$ donc ${\color{#EE0000}{0}} \leqslant 1 \leqslant {\color{#0070C0}{3}}$ : $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité. Supposons $\mathcal{P}(n)$ vraie pour un entier $n$ fixé quelconque : ${\color{#EE0000}{0}} \leqslant u_n \leqslant {\color{#0070C0}{3}}$.

On applique la fonction associée à la relation de récurrence — ici $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}$, donc la fonction $f(x) = \sqrt{x + 6}$, croissante sur $[-6\,;+\infty[$. On applique $f$ à l'encadrement :

$f({\color{#EE0000}{0}}) \leqslant f(u_n) \leqslant f({\color{#0070C0}{3}})$

$\sqrt{6} \leqslant u_{n+1} \leqslant \sqrt{9} = 3$

On souhaite conclure ${\color{#EE0000}{0}} \leqslant u_{n+1} \leqslant {\color{#0070C0}{3}}$. On a $u_{n+1} \leqslant 3 = {\color{#0070C0}{3}}$ et $u_{n+1} \geqslant \sqrt{6} > 0 \geqslant {\color{#EE0000}{0}}$. Donc $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.

Conclusion. Par récurrence, ${\color{#EE0000}{0}} \leqslant u_n \leqslant {\color{#0070C0}{3}}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

⚠ Règle couleur canonique : les bornes fixes (ici ${\color{#EE0000}{0}}$ et ${\color{#0070C0}{3}}$) conservent leur couleur à travers toutes les transformations (image par $f$, carré, multiplication, logarithme…) tant qu'on les traite comme les mêmes objets. Cela aide l'élève à suivre le fil de l'encadrement.

Point crucial : la monotonie de la fonction associée. Si $f$ est croissante, on garde le sens des inégalités ; si $f$ est décroissante, on inverse le sens.

Où c'est tombé : Métropole juin 2022, Antilles-Guyane 2023, Métropole juin 2024, Centres Étrangers 2024, Asie 2024, Amérique du Nord 2025.

---

M3 — Démontrer une monotonie par récurrence

Type d'énoncé : « Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante. »

Quand la relation est $u_{n+1} = g(u_n)$ et que la comparaison de $u_{n+1}$ et $u_n$ n'est pas directe, on passe par la récurrence.

Notons $\mathcal{P}(n)$ : « $u_n \leqslant u_{n+1}$ ».

Initialisation. On calcule $u_0$ et $u_1$ à partir de la relation, on vérifie $u_0 \leqslant u_1$.

Hérédité. Supposons $u_n \leqslant u_{n+1}$ pour un $n$ fixé quelconque. On applique la fonction associée $g$ (en précisant sa monotonie) : si $g$ croissante, $g(u_n) \leqslant g(u_{n+1})$, soit $u_{n+1} \leqslant u_{n+2}$. Donc $\mathcal{P}(n+1)$ vraie.

Conclusion. Par récurrence, $(u_n)$ est croissante.

Où c'est tombé : systématique dans les exercices sur suite définie par récurrence.

---

M4 — Suite arithmétique ou géométrique : identifier et donner la forme explicite

Démarche systématique :

1. Écrire $u_{n+1} - u_n$ (test arithmétique) ou $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ (test géométrique) et vérifier si le résultat est constant.
2. Si constant, identifier la raison.
3. Donner l'expression explicite : $u_n = u_0 + n\,{\color{#00B050}{r}}$ (arithmétique) ou $u_n = u_0 \times {\color{#0070C0}{q}}^{\,n}$ (géométrique).

Exemple. Soit $v_n = u_n - 2$ avec $u_{n+1} = 3u_n - 4$. Montrons que $(v_n)$ est géométrique.

$v_{n+1} = u_{n+1} - 2 = 3u_n - 4 - 2 = 3u_n - 6 = 3(u_n - 2) = {\color{#0070C0}{3}} \times v_n$.

Donc $(v_n)$ est géométrique de raison ${\color{#0070C0}{q}} = {\color{#0070C0}{3}}$ et de premier terme $v_0 = u_0 - 2$.

Expression explicite : $v_n = v_0 \times {\color{#0070C0}{3}}^{\,n}$.

Où c'est tombé : Métropole 2021, Polynésie 2022, Amérique du Sud 2023, Antilles 2024.

---

M5 — Calculer une somme de termes consécutifs

Type d'énoncé : « Calculer $S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n$. »

Deux cas :

• Suite arithmétique : $S_n = (n+1) \times \dfrac{u_0 + u_n}{2}$.
• Suite géométrique de raison ${\color{#0070C0}{q}} \ne 1$ : $S_n = u_0 \times \dfrac{1 - {\color{#0070C0}{q}}^{\,n+1}}{1 - {\color{#0070C0}{q}}}$.

Toujours écrire la formule littérale en premier, puis substituer.

---

M6 — Récurrence forte (rare mais possible)

Quand l'hérédité de $\mathcal{P}(n)$ nécessite non seulement $\mathcal{P}(n)$ mais aussi $\mathcal{P}(n-1)$, on utilise une récurrence forte : hypothèse de récurrence portant sur « $\mathcal{P}(k)$ pour tout $k$ tel que $n_0 \leqslant k \leqslant n$ ».

Rare au bac spécialité mais peut apparaître dans les exercices d'expert ou en QCM difficile.

---

4. Analyse fréquentielle

• Fréquence : la démonstration par récurrence apparaît dans plus de 90 % des exercices sur les suites au bac.
• Format le plus courant : exercice de 4 à 6 questions sur une suite définie par récurrence, dont au moins une est une démonstration par récurrence (typiquement M2 encadrement, ou M3 monotonie).
• Souvent en préambule d'un exercice sur la convergence : on démontre d'abord la monotonie et le bornage par récurrence, puis on invoque le théorème de convergence monotone (chapitre Limites de suites).
• Contexte fréquent : suite auxiliaire géométrique introduite par le sujet ($v_n = u_n - \ell$), à identifier comme géométrique (M4), puis expression explicite de $v_n$, puis de $u_n$, puis limite.
• QCM classiques : identification vrai/faux d'une formule explicite ($u_n = \ldots$), sens de variation d'une suite définie par $u_n = f(n)$, calcul rapide de somme géométrique.
• Format récurrent depuis 2021 : premier ex. proba, dernier ex. suite (le sujet dépose systématiquement une démonstration par récurrence dans l'exercice sur les suites).

---

5. Erreurs fréquentes

1. Oublier une des trois étapes (souvent la conclusion ; parfois l'initialisation, jugée « évidente » à tort).
2. Ne pas énoncer $\mathcal{P}(n)$ : écrire directement la démonstration sans nommer la propriété — perte de point systématique.
3. Utiliser $\mathcal{P}(n+1)$ dans l'hérédité comme point de départ au lieu de la déduire de $\mathcal{P}(n)$ : erreur logique majeure.
4. Oublier de mentionner l'H.R. au moment précis où on l'utilise (« par hypothèse de récurrence » doit apparaître).
5. Ne pas préciser la monotonie de la fonction associée avant d'appliquer $f$ à un encadrement (M2, M3).
6. Inverser le sens de l'inégalité en appliquant une fonction décroissante sans le signaler.
7. Confondre suite définie par récurrence et suite définie explicitement : dans une suite définie par $u_{n+1} = g(u_n)$, on ne peut pas remplacer directement $n$ par une valeur pour calculer $u_n$ — il faut la relation.
8. Diviser par $u_n$ dans la méthode du quotient sans avoir vérifié que $u_n > 0$.
9. Somme géométrique : oublier le « +1 » dans l'exposant $q^{n+1}$ ou le nombre de termes.
10. Écrire « pour tout $n$ » dans l'hérédité au lieu de « pour un $n$ fixé quelconque » : l'hérédité se démontre à $n$ fixé.

---

6. Formulaire à retenir

Objet	Formule
Récurrence — trois étapes	Initialisation · Hérédité · Conclusion
Suite arithmétique — explicite	$u_n = u_0 + nr$
Suite arithmétique — somme	$S_n = (n+1)\,\dfrac{u_0 + u_n}{2}$
Suite géométrique — explicite	$u_n = u_0 \times q^n$
Suite géométrique — somme	$S_n = u_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ ($q \ne 1$)
Somme des entiers	$\sum_{k=0}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$
Sens de variation	Étudier signe de $u_{n+1} - u_n$, ou ratio, ou récurrence
Croissance conservée par $f$	Si $f$ croissante et $u_n \leqslant v_n$, alors $f(u_n) \leqslant f(v_n)$

---

7. Annales à consulter sur vecteurmaths.fr

Récurrence — démonstration d'une inégalité (méthode M2) :

• Métropole — 2021 J1 ex. 2 · 2021 J1 ex. 3 · 2022 J1 ex. 1 · 2022 J1 ex. 1 · 2022 J2 ex. 2 · 2024 J1 ex. 3 · 2024 J2 ex. 2
• Amérique du Nord — 2023 J2 ex. 2
• Polynésie — 2022 J1 ex. 1 · 2022 J1 ex. 3
• Asie — 2023 J1 ex. 1 · 2023 J2 ex. 3

Récurrence — égalité / formule explicite (méthode M1) :

• Métropole — 2023 J1 ex. 1 · 2023 J1 ex. 3 · 2023 J2 ex. 2 · 2023 J2 ex. 3
• Nouvelle-Calédonie — 2023 J1 ex. 2 · 2023 J2 ex. 3
• Amérique du Sud — 2023 J2 ex. 3

Récurrence — monotonie (méthode M3) :

• Métropole — 2022 J1 ex. 1 · 2022 J1 ex. 1 · 2022 J2 ex. 2 · 2024 J1 ex. 3 · 2024 J2 ex. 2
• Polynésie — 2023 J1 ex. 4 · 2023 J2 ex. 1 · 2023 J2 ex. 4