Exercice 3 — Vecteurs, droites et plans, Représentations paramétriques et équations cartésiennes

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé d'unité $1 \mathrm{ cm}$, on considère les points

$\mathrm{D}(3 ; 1 ; 5)$, $\mathrm{E}(3 ; -2 ; -1)$, $\mathrm{F}(-1 ; 2 ; 1)$, $\mathrm{G}(3 ; 2 ; -3)$.

• 1.

  • a) Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{EF}}$ et $\overrightarrow{\text{FG}}$.

  • b) Justifier que les points $\mathrm{E}, \mathrm{F}$ et $\mathrm{G}$ ne sont pas alignés.

• 2.

  • a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (FG).

  • b) On appelle $\mathrm{H}$ le point de coordonnées $(2 ; 2 ; -2)$.

    Vérifier que $\mathrm{H}$ est le projeté orthogonal de E sur la droite (FG) .

  • c) Montrer que l'aire du triangle EFG est égale à $12\mathrm{ cm}^{2}$.

• 3.

  • a) Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2

    1

    2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (EFG).

  • b) Déterminer une équation cartésienne du plan (EFG) .

  • c) Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ passant par le point $\mathrm{D}$ et orthogonale au plan (EFG) .

  • d) On note K le projeté orthogonal du point D sur le plan (EFG).

    À l'aide des questions précédentes, calculer les coordonnées du point $\mathrm{K}$.

• 4.

  • a) Vérifier que la distance $D K$ est égale à $5 \mathrm{ cm}$.

  • b) En déduire le volume du tétraèdre DEFG.