PROBABILITÉS CONDITIONNELLES ET ARBRES

Terminale · Spécialité Mathématiques · Thème : Probabilités & Dénombrement

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Place dans le programme et prérequis

Ce chapitre est le cœur des probabilités au bac : il introduit la probabilité conditionnelle, l'utilisation systématique des arbres pondérés, la formule des probabilités totales, et la formule de Bayes (inversion d'un conditionnement). C'est la structure canonique de la quasi-totalité des exercices de probabilités au bac.

Prérequis indispensables :

• Probabilités de première (arbre pondéré à une génération, calcul de $P(A \cap B)$)
• Vocabulaire ensembliste : $A \cap B$, $A \cup B$, $\overline{A}$
• Notion d'événement, univers, équiprobabilité

Chapitre débouchant sur : Loi binomiale (souvent introduite après un arbre), Variables aléatoires et sommes, tout exercice de proba au bac.

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1. Notions clés

1.1 Probabilité conditionnelle

Soit $A$ un événement de probabilité $P(A) > 0$. La probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$, notée $P_A(B)$ (ou $P(B \mid A)$), est : $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$

Interprétation : c'est la probabilité que $B$ se produise sachant que $A$ s'est produit — on « conditionne » le calcul en se restreignant à l'univers réduit où $A$ est réalisé.

Conséquence — formule des probabilités composées : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = P(B) \times P_B(A)$

1.2 Arbre pondéré

Un arbre pondéré représente graphiquement une succession d'expériences. Chaque branche est étiquetée par une probabilité.

Règles fondamentales :

• Somme = 1 : la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est égale à $1$.
• Produit le long d'un chemin : la probabilité d'un chemin complet est le produit des probabilités des branches empruntées.
• Somme des chemins : la probabilité d'un événement (union de plusieurs chemins) est la somme des probabilités des chemins qui le réalisent.

Structure typique — 2 niveaux :

• 1er niveau : événements ${\color{#0070C0}{A_1}}$, ${\color{#0070C0}{A_2}}$, ..., ${\color{#0070C0}{A_n}}$ (partition de l'univers).
• 2e niveau : événement ${\color{#EE0000}{B}}$ ou $\overline{{\color{#EE0000}{B}}}$ conditionnellement à chaque ${\color{#0070C0}{A_i}}$.

Branches du 1er niveau : $P({\color{#0070C0}{A_i}})$.

Branches du 2e niveau : $P_{{\color{#0070C0}{A_i}}}({\color{#EE0000}{B}})$ — probabilités conditionnelles.

1.3 Événements indépendants

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

Équivalent (si $P(A) > 0$) : $P_A(B) = P(B)$ — savoir que $A$ se produit ne change pas la probabilité de $B$.

⚠ Attention : indépendance $\ne$ incompatibilité. Deux événements incompatibles ($A \cap B = \varnothing$) sont dépendants (sauf si l'un des deux a probabilité $0$).

1.4 Partition de l'univers

Les événements $A_1, A_2, \ldots, A_n$ forment une partition de l'univers $\Omega$ si :

• Ils sont deux à deux incompatibles ($A_i \cap A_j = \varnothing$ pour $i \ne j$).
• Leur réunion est l'univers entier ($A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n = \Omega$).

Cas le plus simple : $\{A, \overline{A}\}$ forme toujours une partition de $\Omega$.

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2. Formulaire — théorèmes et propriétés

T1 — Probabilité conditionnelle

$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad (\text{si } P(A) > 0)$

T2 — Formule des probabilités composées

$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = P(B) \times P_B(A)$

En arbre : le produit le long d'un chemin.

T3 — Formule des probabilités totales

Soit $\{{\color{#0070C0}{A_1}}, {\color{#0070C0}{A_2}}, \ldots, {\color{#0070C0}{A_n}}\}$ une partition de $\Omega$. Alors pour tout événement ${\color{#EE0000}{B}}$ : $P({\color{#EE0000}{B}}) = P({\color{#0070C0}{A_1}} \cap {\color{#EE0000}{B}}) + P({\color{#0070C0}{A_2}} \cap {\color{#EE0000}{B}}) + \cdots + P({\color{#0070C0}{A_n}} \cap {\color{#EE0000}{B}})$

Ou, avec les probabilités conditionnelles : $P({\color{#EE0000}{B}}) = P({\color{#0070C0}{A_1}}) \times P_{{\color{#0070C0}{A_1}}}({\color{#EE0000}{B}}) + P({\color{#0070C0}{A_2}}) \times P_{{\color{#0070C0}{A_2}}}({\color{#EE0000}{B}}) + \cdots + P({\color{#0070C0}{A_n}}) \times P_{{\color{#0070C0}{A_n}}}({\color{#EE0000}{B}})$

Cas $n = 2$ (le plus fréquent) : $P({\color{#EE0000}{B}}) = P({\color{#0070C0}{A}}) \times P_{{\color{#0070C0}{A}}}({\color{#EE0000}{B}}) + P(\overline{{\color{#0070C0}{A}}}) \times P_{\overline{{\color{#0070C0}{A}}}}({\color{#EE0000}{B}})$

En arbre : $P({\color{#EE0000}{B}})$ = somme des produits le long de tous les chemins qui aboutissent à ${\color{#EE0000}{B}}$.

T4 — Formule de Bayes (inversion du conditionnement)

Si $P(A) > 0$ et $P(B) > 0$ : $P_B(A) = \dfrac{P(A) \times P_A(B)}{P(B)}$

Interprétation : connaissant $P_A(B)$, on obtient $P_B(A)$ — on « inverse » le sens du conditionnement.

En pratique : on calcule $P(B)$ par la formule des probabilités totales, puis on applique Bayes.

T5 — Indépendance

$A$ et $B$ indépendants ⇔ $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

Conséquences (si $P(A) > 0$ et $P(B) > 0$) : $P_A(B) = P(B)$ et $P_B(A) = P(A)$.

Autres : si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\overline{B}$ le sont aussi ; $\overline{A}$ et $B$ le sont aussi ; $\overline{A}$ et $\overline{B}$ le sont aussi.

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3. Méthodes types au bac

M1 — Construire un arbre pondéré à partir de l'énoncé

Démarche.

1. Identifier la 1re étape de l'expérience (partition de l'univers, souvent 2 événements $A$ et $\overline{A}$).
2. Placer les probabilités $P(A)$ et $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ sur les branches du 1er niveau.
3. Identifier la 2e étape (événement $B$ à évaluer conditionnellement à chaque cas de la 1re étape).
4. Placer les probabilités conditionnelles $P_A(B)$, $P_A(\overline{B})$, $P_{\overline{A}}(B)$, $P_{\overline{A}}(\overline{B})$ sur les branches du 2e niveau — attention, ce sont des probabilités conditionnelles.
5. Vérifier : la somme des probabilités issues d'un même nœud doit valoir $1$.

Rédaction canonique. Décrire l'arbre en écrivant les probabilités trouvées, ou dessiner l'arbre proprement.

Où c'est tombé : presque tous les exercices de probabilités au bac. Métropole 2021 à 2024, Polynésie 2022 à 2024, etc.

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M2 — Calcul de $P(A \cap B)$ via le produit sur un chemin

Démarche. Repérer le chemin correspondant à $A \cap B$ dans l'arbre, multiplier les probabilités le long de ce chemin.

Exemple. Dans une usine, 40 % des pièces viennent de la machine 1, 60 % de la machine 2. La machine 1 produit 5 % de pièces défectueuses, la machine 2 en produit 3 %. Quelle est la probabilité qu'une pièce vienne de la machine 1 et soit défectueuse ?

Notons $M_1$ = « vient de la machine 1 » et $D$ = « défectueuse ».

$P(M_1 \cap D) = P(M_1) \times P_{M_1}(D) = 0{,}4 \times 0{,}05 = 0{,}02$.

Où c'est tombé : systématique.

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M3 — Utiliser la formule des probabilités totales pour $P(B)$

Démarche. Sommer les probabilités des chemins aboutissant à $B$.

Exemple (suite). Quelle est la probabilité qu'une pièce (au hasard dans la production) soit défectueuse ?

$P(D) = P(M_1 \cap D) + P(M_2 \cap D) = 0{,}4 \times 0{,}05 + 0{,}6 \times 0{,}03 = 0{,}02 + 0{,}018 = 0{,}038$.

Donc $P(D) = 0{,}038$, soit $3{,}8\,\%$ de pièces défectueuses en moyenne.

Rédaction canonique.

Les événements $M_1$ et $M_2$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales : $P(D) = P(M_1) \times P_{M_1}(D) + P(M_2) \times P_{M_2}(D) = \ldots$

Où c'est tombé : dans tous les exercices d'arbre au bac. Structure canonique.

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M4 — Question de Bayes (inversion) : $P_B(A)$ connaissant $P_A(B)$

Type d'énoncé : « On prend une pièce défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle vienne de la machine 1 ? »

Il s'agit de $P_D(M_1)$ — le sens du conditionnement est inversé par rapport à l'énoncé initial.

Démarche.

1. Calculer $P(D)$ par la formule des probabilités totales (M3).
2. Appliquer Bayes : $P_D(M_1) = \dfrac{P(M_1 \cap D)}{P(D)} = \dfrac{P(M_1) \times P_{M_1}(D)}{P(D)}$

Exemple (suite). $P_D(M_1) = \dfrac{0{,}02}{0{,}038} \approx 0{,}526$.

Donc environ 53 % des pièces défectueuses viennent de la machine 1 — bien plus que la proportion initiale de 40 %, ce qui reflète le taux de défauts plus élevé sur cette machine.

Rédaction canonique.

D'après la définition de la probabilité conditionnelle : $P_D(M_1) = \dfrac{P(M_1 \cap D)}{P(D)} = \dfrac{0{,}02}{0{,}038} \approx 0{,}526$.

Où c'est tombé : question quasi systématique dans les exercices d'arbre. Métropole 2021, 2022, 2023, 2024 ; Polynésie 2022, 2023, 2024 ; Amérique du Nord 2023, 2024.

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M5 — Démontrer que deux événements sont indépendants (ou non)

Démarche. Comparer $P(A \cap B)$ et $P(A) \times P(B)$.

• Si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ : indépendants.
• Sinon : dépendants.

Alternative (si $P(A) > 0$) : comparer $P_A(B)$ et $P(B)$.

Exemple. Reprenons l'exemple. $P(M_1) = 0{,}4$, $P(D) = 0{,}038$, $P(M_1 \cap D) = 0{,}02$. Or $P(M_1) \times P(D) = 0{,}4 \times 0{,}038 = 0{,}0152 \ne 0{,}02$. Donc $M_1$ et $D$ ne sont pas indépendants.

Où c'est tombé : question courte régulière. Métropole 2022, Polynésie 2023.

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M6 — Structure canonique d'un exercice bac « arbre » — 4 à 5 questions

Schéma type :

1. Traduire l'énoncé en arbre pondéré (M1) — ou compléter un arbre partiellement donné.
2. Calculer $P(A \cap B)$ ou une autre intersection (M2).
3. Calculer $P(B)$ par formule des probabilités totales (M3).
4. Calculer une probabilité conditionnelle inverse $P_B(A)$ par Bayes (M4).
5. Prolongement : soit vers la loi binomiale (si l'expérience est répétée $n$ fois, $X$ = nombre de « succès » → $\mathcal{B}(n, P(B))$), soit vers l'indépendance (M5).

Où c'est tombé : structure canonique de la majorité des exercices de probabilités depuis 2021.

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M7 — Lire un tableau de contingence

Contexte : l'énoncé fournit un tableau croisé (population classée selon deux critères).

Démarche.

• Les probabilités sont des fréquences lues dans le tableau.
• $P(A)$ = (total colonne / total général) — probabilité marginale.
• $P(A \cap B)$ = (case du tableau / total général).
• $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ = (case / total de la colonne $A$).

Où c'est tombé : Métropole 2022, Antilles 2023, Polynésie 2024.

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4. Analyse fréquentielle

• Les probabilités conditionnelles et les arbres apparaissent dans plus de 80 % des sujets de bac spécialité maths.
• Format canonique en 4 à 5 questions : arbre → intersection → probabilités totales → Bayes → prolongement (M6). Cette structure est présente dans presque tous les sujets.
• Souvent en préambule d'un exercice binomiale : l'arbre donne une probabilité $p$, puis on répète l'expérience $n$ fois → $X \sim \mathcal{B}(n\,;p)$.
• Question de Bayes (M4) : quasi systématique — c'est la question la plus valorisée du chapitre.
• Indépendance (M5) : en question courte régulièrement.
• Tableau de contingence (M7) : environ 1 sujet sur 3.
• QCM : régulier sur la reconnaissance d'une probabilité conditionnelle ou l'indépendance.

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5. Erreurs fréquentes

1. Confondre $P_A(B)$ et $P_B(A)$ : le sens du conditionnement compte — question inverse ou directe ?
2. Confondre indépendance et incompatibilité : $A \cap B = \varnothing$ n'implique pas l'indépendance ; au contraire, deux événements incompatibles sont dépendants (sauf cas trivial).
3. Écrire $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ sans avoir démontré l'indépendance : la formule des probabilités composées est $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ ; on ne remplace $P_A(B)$ par $P(B)$ qu'en cas d'indépendance.
4. Placer $P(B)$ directement au 2e niveau de l'arbre au lieu de $P_A(B)$ : les branches du 2e niveau sont conditionnelles.
5. Oublier de justifier la formule des probabilités totales en signalant la partition (« $A$ et $\overline{A}$ forment une partition »).
6. Sauter des chemins dans la somme de la formule des probabilités totales.
7. Mal identifier la 1re et la 2e étape de l'expérience : l'orientation de l'arbre dépend de l'ordre chronologique ou logique.
8. Écrire une probabilité $> 1$ ou $< 0$ — signal d'erreur : refaire le calcul.
9. Somme des branches issues d'un nœud $\ne 1$ dans l'arbre : erreur de lecture de l'énoncé.
10. Utiliser Bayes sans avoir calculé $P(B)$ au préalable par les probabilités totales.

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6. Formulaire à retenir

Objet	Formule
Proba conditionnelle	$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$
Probas composées	$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$
Probas totales (2 cas)	$P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B)$
Bayes	$P_B(A) = \dfrac{P(A) \times P_A(B)}{P(B)}$
Indépendance	$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
Règle arbre — somme	Somme des branches issues d'un nœud = 1
Règle arbre — produit	Proba d'un chemin = produit des branches
Règle arbre — union	Proba d'un événement = somme des probas des chemins

Rédaction : toujours justifier « les événements $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers » avant d'utiliser la formule des probabilités totales.

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7. Annales à consulter sur vecteurmaths.fr

Structure canonique arbre → probabilités totales → Bayes (M1 → M4) — la plus fréquente :

• Métropole — 2021 J1 ex. 1 · 2021 J1 ex. 2 · 2021 J2 ex. 1 · 2021 J2 ex. 1 · 2021 J2 ex. 2 · 2022 J1 ex. 2 · 2022 J1 ex. 3 · 2022 J2 ex. 1 · 2022 J2 ex. 1 · 2023 J1 ex. 1 · 2023 J1 ex. 3 · 2023 J2 ex. 1 · 2023 J2 ex. 1 · 2024 J1 ex. 2 · 2024 J2 ex. 1 · 2024 J2 ex. 2
• Polynésie — 2022 J1 ex. 2 · 2022 J2 ex. 2 · 2023 J1 ex. 1 · 2024 J1 ex. 3 · 2024 J2 ex. 1
• Amérique du Nord — 2023 J1 ex. 1 · 2024 J1 ex. 1 · 2024 J2 ex. 1
• Amérique du Sud — 2023 J1 ex. 2 · 2023 J2 ex. 1 · 2024 J1 ex. 2 · 2024 J2 ex. 1
• Asie — 2023 J1 ex. 4 · 2023 J2 ex. 4 · 2024 J1 ex. 3 · 2024 J2 ex. 2
• Centres Étrangers — 2022 J1 ex. 4 · 2022 J2 ex. 4 · 2024 J1 ex. 1
• Nouvelle-Calédonie — 2023 J1 ex. 1 · 2023 J2 ex. 4

Tableau de contingence (M7) :

• Métropole — 2022 J1 ex. 2 · 2022 J1 ex. 3 · 2022 J2 ex. 1 · 2022 J2 ex. 1
• Polynésie — 2024 J1 ex. 1 · 2024 J1 ex. 3 · 2024 J2 ex. 1