Exercice 1 — Équations différentielles, Étude complète de fonction

PARTIE A

On considère l'équation différentielle

$(E) : \quad y' +\dfrac14y = 20\text{e}^{-\frac14 x},$

d'inconnue $y$, fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0 ;  +\infty[$.

• 1. Déterminer la valeur du réel $a$ tel que la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0 ;  +\infty[$ par $g(x) = ax\text{e}^{-\frac14 x}$ soit une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.

• 2. On considère l'équation différentielle

  $(E') : \quad y' +\dfrac14 y = 0,$

  d'inconnue $y$, fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0 ;  +\infty[$.

  Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E')$.

• 3. En déduire les solutions de l'équation différentielle $(E)$.

• 4. Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ telle que $f(0) = 8$.

PARTIE B

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0 ;  +\infty[$ par

$f(x) = (20x + 8)\text{e}^{-\frac14 x}.$

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0 ;  +\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée sur l'intervalle $[0 ;  +\infty[$. De plus, on admet que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = 0$.

• 1.

  • a) Justifier que, pour tout réel $x$ positif,

    $f'(x) = (18 - 5x)\text{e}^{-\frac14 x}.$

  • b) En déduire le tableau de variations de la fonction $f$. On précisera la valeur exacte du maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ;  +\infty[$.

• 2. Dans cette question on s'intéresse à l'équation $f(x) = 8$.

  • a) Justifier que l'équation $f(x) = 8$ admet une unique solution, notée $\alpha$, dans l'intervalle [14 ; 15].

  • b) Recopier et compléter le tableau ci-dessous en faisant tourner étape par étape la fonction solution_equation ci-contre, écrite en langage Python

    (Tableau : voir le sujet PDF.)

    from math import exp
    def f(x):
         return (20*x+8)*exp(-1/4*x)
     
    def solution_equation():
         a,b = 14,15
         while b-a > 0.1 :
        
         m = (a+b)/2
         if f(m) > 8:
        |     a = m
         else:
         |      b = m
    

    return a,b

  • c) Quel est l'objectif de la fonction solution_equation dans le contexte de la question ?