Exercice 4 — Combinatoire et dénombrement, Probabilités conditionnelles et arbres

*Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.

Chaque réponse doit être justifiée.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.*

Un musée propose des visites avec ou sans audioguide. Les billets peuvent être achetés en ligne ou directement au guichet.

• 1. Lorsqu'une personne achète son billet en ligne, un code de validation lui est envoyé par SMS afin qu'elle confirme son achat.

  Ce code est généré de façon aléatoire et est constitué de 4 chiffres deux à deux distincts, le premier chiffre étant différent de 0.

  Affirmation 1 : Le nombre de codes différents pouvant être générés est 5040.

• 2. Une étude a permis de considérer que :

• 3. la probabilité qu'une personne choisisse l'audioguide sachant qu'elle a acheté son billet en ligne est égale à 0,8 ;

• 4. la probabilité qu'une personne achète son billet en ligne est égale à 0,7 ;

• 5. la probabilité qu'une personne opte pour une visite sans audioguide est égale à 0,32.

  Affirmation 2 : La probabilité qu'un visiteur ne prenne pas l'audioguide sachant qu'il a acheté son billet au guichet est supérieure à deux tiers.

• 6. On choisit au hasard 12 visiteurs de ce musée.

  On suppose que le choix de l'option « audioguide » est indépendant d'un visiteur à l'autre.

  Affirmation 3 : La probabilité qu'exactement la moitié de ces visiteurs opte pour l'audioguide est égale à $924 \times 0,2176^6$.

• 7. Lorsqu'une personne dispose d'un audioguide, elle peut choisir parmi trois parcours :

• 8. un premier d'une durée de cinquante minutes,

• 9. un deuxième d'une durée d'une heure et vingt minutes,

• 10. un troisième d'une durée d'une heure et quarante minutes.

  Le temps de parcours peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ dont la loi de probabilité est donnée ci-dessous :

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

  Affirmation 4 : L'espérance de $X$ est 77 minutes.