LOI BINOMIALE

Terminale · Spécialité Mathématiques · Thème : Probabilités & Dénombrement

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Place dans le programme et prérequis

Ce chapitre relie combinatoire, variables aléatoires et probabilités conditionnelles. Il constitue l'un des chapitres les plus rentables du bac : il tombe presque à chaque session, souvent en exercice entier, parfois sous forme de QCM.

Prérequis indispensables :

• Coefficients binomiaux $\binom{n}{k}$ et leur calcul (chapitre Combinatoire et dénombrement)
• Variables aléatoires réelles : loi, espérance, variance, écart-type (chapitre Variables aléatoires et sommes)
• Notion d'événements indépendants (chapitre Probabilités conditionnelles et arbres)

Chapitre débouchant sur : l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et l'échantillonnage.

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1. Notions clés

1.1 Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire n'ayant que deux issues possibles :

• une issue appelée succès, notée $S$, de probabilité $p$ ;
• une issue appelée échec, notée $\overline{S}$, de probabilité $1-p$.

Le réel $p \in [0\,;1]$ est appelé paramètre de l'épreuve.

1.2 Schéma de Bernoulli

Un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, chacune de paramètre $p$.

Trois conditions à vérifier systématiquement au bac :

1. Chaque expérience a exactement deux issues (succès/échec).
2. Les expériences sont indépendantes (typiquement : tirages avec remise, expériences répétées sans influence mutuelle).
3. Les expériences sont identiques (même probabilité de succès $p$ à chaque répétition).

1.3 Variable aléatoire binomiale

On considère un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$. On appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre de succès obtenus au cours des $n$ épreuves.

On dit alors que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, et l'on note : $X \sim \mathcal{B}(n\,;p)$

L'ensemble des valeurs prises par $X$ est $\{0\,;1\,;2\,;\ldots\,;n\}$.

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2. Formulaire — théorèmes et propriétés

T1 — Loi de probabilité

Soit $X \sim \mathcal{B}(n\,;p)$. Pour tout entier $k$ tel que $0 \leqslant k \leqslant n$ :

$P(X = k) = \binom{{\color{#EE0000}{n}}}{{\color{#00B050}{k}}} \times {\color{#0070C0}{p}}^{\,{\color{#00B050}{k}}} \times (1 - {\color{#0070C0}{p}})^{{\color{#EE0000}{n}} - {\color{#00B050}{k}}}$

où $\binom{{\color{#EE0000}{n}}}{{\color{#00B050}{k}}}$ est le coefficient binomial « ${\color{#EE0000}{n}}$ parmi ${\color{#00B050}{k}}$ », qui compte le nombre de façons d'obtenir ${\color{#00B050}{k}}$ succès parmi ${\color{#EE0000}{n}}$ épreuves.

T2 — Espérance

$E(X) = {\color{#EE0000}{n}}\,{\color{#0070C0}{p}}$

Interprétation : en moyenne, sur un grand nombre de répétitions du schéma, on obtient environ ${\color{#EE0000}{n}}{\color{#0070C0}{p}}$ succès.

T3 — Variance et écart-type

$V(X) = {\color{#EE0000}{n}}\,{\color{#0070C0}{p}}\,(1 - {\color{#0070C0}{p}})$

$\sigma(X) = \sqrt{{\color{#EE0000}{n}}\,{\color{#0070C0}{p}}\,(1 - {\color{#0070C0}{p}})}$

T4 — Événements complémentaires (formule à connaître par cœur)

$P(X \geqslant k) = 1 - P(X \leqslant k-1)$

Cas particulier ultra-classique — probabilité d'obtenir au moins un succès :

$P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1 - {\color{#0070C0}{p}})^{{\color{#EE0000}{n}}}$

T5 — Encadrements avec la calculatrice

$P(a \leqslant X \leqslant b) = P(X \leqslant b) - P(X \leqslant a - 1)$

On utilise la fonction binomFRép(n, p, k) (ou binomCDF) pour obtenir $P(X \leqslant k)$.

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3. Méthodes types au bac

M1 — Reconnaître un schéma de Bernoulli et identifier $\mathcal{B}(n\,;p)$

Démarche systématique :

1. Identifier l'expérience élémentaire qui est répétée.
2. Vérifier qu'elle n'a que deux issues et définir le succès explicitement (« Le succès est l'événement : … »).
3. Vérifier l'indépendance (souvent justifiée par « tirage avec remise » ou « expériences indépendantes »).
4. Identifier $n$ (nombre de répétitions) et $p$ (probabilité de succès).
5. Conclure : « $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = \ldots$ et $p = \ldots$, ce que l'on note $X \sim \mathcal{B}(n\,;p)$ ».

⚠ La définition du succès doit toujours être écrite noir sur blanc avant l'identification. C'est un point systématiquement vérifié par les correcteurs.

Où c'est tombé : Métropole juin 2022 (ex. 3), Amérique du Nord mai 2023 (ex. 2), Polynésie sept. 2023, Métropole sept. 2024, Centres Étrangers juin 2024.

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M2 — Calculer $P(X = k)$ (les trois lignes obligatoires)

Règle pédagogique canonique : on écrit toujours trois lignes — formule littérale, réécriture explicite de $q = 1-p$, substitution numérique.

Exemple. Soit $X \sim \mathcal{B}(10\,;0{,}3)$. Calculer $P(X = 4)$.

Ligne 1 — formule littérale : $P(X = {\color{#00B050}{k}}) = \binom{{\color{#EE0000}{n}}}{{\color{#00B050}{k}}} \times {\color{#0070C0}{p}}^{\,{\color{#00B050}{k}}} \times q^{{\color{#EE0000}{n}} - {\color{#00B050}{k}}}$

Ligne 2 — réécriture de $q$ en $(1 - p)$ : $P(X = {\color{#00B050}{k}}) = \binom{{\color{#EE0000}{n}}}{{\color{#00B050}{k}}} \times {\color{#0070C0}{p}}^{\,{\color{#00B050}{k}}} \times (1 - {\color{#0070C0}{p}})^{{\color{#EE0000}{n}} - {\color{#00B050}{k}}}$

Ligne 3 — substitution numérique : $P(X = {\color{#00B050}{4}}) = \binom{{\color{#EE0000}{10}}}{{\color{#00B050}{4}}} \times {\color{#0070C0}{0{,}3}}^{\,{\color{#00B050}{4}}} \times (1 - {\color{#0070C0}{0{,}3}})^{{\color{#EE0000}{10}} - {\color{#00B050}{4}}} \approx 0{,}2001$

Où c'est tombé : Métropole juin 2021 (ex. 4), Antilles-Guyane sept. 2022, Métropole juin 2023, Asie juin 2024, Amérique du Sud sept. 2024.

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M3 — Calculer $P(X \geqslant k)$, $P(X \leqslant k)$, $P(a \leqslant X \leqslant b)$

• $P(X \leqslant k)$ : directement à la calculatrice avec binomFRép(n, p, k).
• $P(X \geqslant k)$ : jamais de somme directe ; on passe par le complémentaire $P(X \geqslant k) = 1 - P(X \leqslant k - 1)$
• $P(a \leqslant X \leqslant b)$ : différence de deux fonctions de répartition $P(a \leqslant X \leqslant b) = P(X \leqslant b) - P(X \leqslant a - 1)$

⚠ Attention à $k-1$ et non $k$ dans la formule du complémentaire. Erreur la plus fréquente au bac.

Où c'est tombé : systématique dans presque toutes les sessions de 2021 à 2026.

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M4 — Calculer $E(X)$ et $V(X)$

Rappeler la formule littérale avant de substituer.

Exemple. $X \sim \mathcal{B}(50\,;0{,}2)$.

$E(X) = {\color{#EE0000}{n}}\,{\color{#0070C0}{p}} = {\color{#EE0000}{50}} \times {\color{#0070C0}{0{,}2}} = 10$

$V(X) = {\color{#EE0000}{n}}\,{\color{#0070C0}{p}}\,(1 - {\color{#0070C0}{p}}) = {\color{#EE0000}{50}} \times {\color{#0070C0}{0{,}2}} \times (1 - {\color{#0070C0}{0{,}2}}) = 8$

Où c'est tombé : Métropole juin 2022, Polynésie 2023, Métropole sept. 2023, Centres Étrangers 2024.

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M5 — Probabilité d'obtenir au moins un succès (question quasi systématique)

Démarche :

$P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1 - {\color{#0070C0}{p}})^{{\color{#EE0000}{n}}}$

Le passage par $P(X = 0)$ évite la somme sur $k = 1, 2, \ldots, n$ (impraticable).

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M6 — Question inverse : déterminer $n$ pour que $P(X \geqslant 1) \geqslant \alpha$

Type d'énoncé : « Combien de fois faut-il répéter l'expérience pour obtenir au moins un succès avec une probabilité supérieure à 0,99 ? »

Démarche :

1. On veut $P(X \geqslant 1) \geqslant 0{,}99$, soit $1 - (1-p)^n \geqslant 0{,}99$.
2. On obtient $(1-p)^n \leqslant 0{,}01$.
3. On applique le logarithme népérien (fonction croissante), en veillant au sens de l'inégalité car $\ln(1-p) < 0$ : $n \ln(1 - p) \leqslant \ln(0{,}01)$ $n \geqslant \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(1 - p)}$
4. On prend le plus petit entier $n$ vérifiant cette inégalité.

⚠ Le sens de l'inégalité s'inverse à l'étape 3 car $\ln(1-p) < 0$. Piège récurrent.

Où c'est tombé : Métropole juin 2022 (ex. 4 Q4), Polynésie 2023, Amérique du Nord 2024.

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4. Analyse fréquentielle

• Fréquence d'apparition : la loi binomiale figure dans plus de 80 % des sessions de bac spécialité maths depuis 2021.
• Format le plus courant : exercice complet de probabilités structuré en 4 à 5 questions, souvent avec un premier arbre pondéré en préambule.
• Format alternatif : QCM (1 ou 2 questions) demandant l'identification de $\mathcal{B}(n\,;p)$ et le calcul d'une espérance.
• Question presque systématique : « calculer la probabilité qu'il y ait au moins un succès » (méthode M5).
• Question intermédiaire fréquente : calcul de $P(X \leqslant k)$ ou $P(a \leqslant X \leqslant b)$ à la calculatrice.
• Question finale fréquente : détermination du plus petit $n$ vérifiant une condition sur $P(X \geqslant 1)$ (méthode M6, avec logarithme).
• Combinaison classique : l'énoncé commence par un arbre pondéré (calcul de $p$ via la formule des probabilités totales), puis $X \sim \mathcal{B}(n\,;p)$ avec ce $p$-là — bien penser à réutiliser la valeur trouvée précédemment.

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5. Erreurs fréquentes

1. Confondre $p$ et $1-p$ dans l'exposant $(1-p)^{n-k}$. Toujours écrire la ligne intermédiaire avec $(1-p)$ explicite.
2. Oublier le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ : erreur classique quand on récite la formule trop vite.
3. Confondre $P(X \geqslant 1)$ et $P(X = 1)$ : la première utilise le complémentaire, la seconde est un calcul direct pour $k=1$.
4. Utiliser la binomiale pour un tirage sans remise : dans ce cas les épreuves ne sont pas indépendantes et la loi n'est pas binomiale (c'est une loi hypergéométrique, hors programme).
5. Confondre $V(X)$ et $\sigma(X)$ : la variance n'a pas la dimension d'un nombre de succès, l'écart-type est sa racine.
6. Erreur sur le sens d'inégalité avec le logarithme : $\ln(1-p) < 0$ car $1-p < 1$, donc diviser par $\ln(1-p)$ inverse le sens.
7. Ne pas définir le succès au début de la question : perte de point systématique.
8. Erreur de bornes dans $P(X \geqslant k) = 1 - P(X \leqslant k-1)$ : oublier le « $-1$ ».

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6. Formulaire à retenir

Objet	Formule
Notation	$X \sim \mathcal{B}(n\,;p)$
Support	$\{0, 1, \ldots, n\}$
Loi	$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$
Espérance	$E(X) = np$
Variance	$V(X) = np(1-p)$
Écart-type	$\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$
Au moins un succès	$P(X \geqslant 1) = 1 - (1-p)^n$
Complémentaire	$P(X \geqslant k) = 1 - P(X \leqslant k-1)$

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7. Annales à consulter sur vecteurmaths.fr

Exercices intégralement consacrés à la loi binomiale (corrections disponibles) :

• Métropole — 2021 J1 ex. 1 · 2021 J1 ex. 2 · 2021 J2 ex. 1 · 2021 J2 ex. 2 · 2022 J1 ex. 2 · 2022 J1 ex. 3 · 2022 J2 ex. 1 · 2022 J2 ex. 1 · 2023 J1 ex. 1 · 2023 J1 ex. 3 · 2023 J2 ex. 1 · 2023 J2 ex. 1 · 2024 J1 ex. 2 · 2024 J1 ex. 4 · 2024 J2 ex. 1 · 2024 J2 ex. 2
• Polynésie — 2022 J1 ex. 1 · 2023 J1 ex. 1 · 2023 J2 ex. 1 · 2024 J1 ex. 1
• Amérique du Nord — 2023 J1 ex. 1 · 2023 J2 ex. 4 · 2024 J1 ex. 1 · 2024 J2 ex. 1
• Amérique du Sud — 2023 J1 ex. 2 · 2023 J2 ex. 1 · 2024 J1 ex. 2 · 2024 J2 ex. 1
• Asie — 2023 J2 ex. 4 · 2024 J1 ex. 3
• Centres Étrangers — 2022 J1 ex. 4 · 2022 J2 ex. 4
• Nouvelle-Calédonie — 2023 J1 ex. 1 · 2023 J2 ex. 4