Exercice 3 — Limites de suites, Suites et récurrence

Répondre par VRAI ou FAUX à chacune des affirmations suivantes et justifier votre réponse.

Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte dans la notation.

Toutes les questions de cet exercice sont indépendantes.

• 1. On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel non nul $n$ par

  $u_n = \dfrac{25 + (- 1)^n}{n}.$

  Affirmation 1 : La suite $(u_n)$ est divergente.

• 2. On considère la suite $(w_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $\left\{\begin{array}{lcl} w_0&=&1 \\ w_{n+1}&=&\dfrac{w_n}{1 + w_n} \end{array}\right.$

  On admet que pour tout entier naturel $n,\; w_n > 0$.

  On considère la suite $(t_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $t_n =\dfrac{k}{w_n}$ où $k$ est un nombre réel strictement positif.

  Affirmation 2 : La suite $(t_n)$ est une suite arithmétique strictement croissante.

• 3. On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $\left\{\begin{array}{lcl}v_0&=&1 \\ v_{n+1}&=&\ln \left(1 + v_n\right) \end{array}\right.$

  On admet que pour tout entier naturel $n,\, v_n > 0$.

  Affirmation 3 : La suite $(v_n)$ est décroissante.

• 4. On considère la suite $(I_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $I_n = \displaystyle\int_1^{\text{e}} [\ln (x)]^n\,\text{d}x$.

  Affirmation 4 : Pour tout entier naturel $n,\, I_{n+1} = \text{e} - (n + 1) I_n$.