Exercice 3 — Probabilités conditionnelles et arbres, Loi binomiale

*Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.

Justifier chaque réponse.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.*

On désigne par « musiciens professionnels » l'ensemble des femmes et hommes pratiquant un instrument de manière professionnelle.

• 1. Une étude a été réalisée auprès des musiciens professionnels pratiquant différents genres musicaux (Pop, Rap, Rock, Classique, etc.).

• 2. $52$ des musiciens professionnels jouent de la Pop ;

• 3. parmi les musiciens professionnels jouant de la Pop, $32$ sont des femmes ;

• 4. $20$ des musiciens professionnels sont des femmes.

  On choisit au hasard une personne dans l'ensemble des musiciens professionnels.

• 5. $O$ l'évènement : « la personne joue de la Pop » ;

• 6. $F$ l'évènement : « la personne est une femme ».

  Affirmation 1 : Si la personne choisie est une femme, alors la probabilité qu'elle joue de la Pop est de 0,832.

• 7. La proportion de musiciens professionnels au sein de la population active dans le secteur de la culture est estimée à $6,2$.

  On prélève au hasard et de manière indépendante un échantillon de 5000 personnes au sein de cette population.

  La population considérée est assez importante pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

  On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout échantillon ainsi défini, associe le nombre de musiciens professionnels dans l'échantillon.

  Affirmation 2 : En arrondissant le résultat au dixième, on a $P(X \leqslant 340) \approx 0,4$.

  Affirmation 3 : En appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on peut affirmer qu'il y a plus de $95$ de chance que, sur cet échantillon de 5000 actifs dans le secteur de la culture, le nombre de musiciens professionnels soit strictement compris entre 230 et 390.

• 8. Un jeu sur le thème de la culture de la Pop est proposé à 10 personnes dont 4 sont des musiciens professionnels.

  Deux équipes de 5 joueurs s'affrontent.

  Elles sont chacune constituées de 2 musiciens professionnels et de 3 personnes qui ne le sont pas.

  Affirmation 4 : On peut former ainsi 120 équipes différentes.