BIENAYMÉ-TCHEBYCHEV ET ÉCHANTILLONNAGE

Terminale · Spécialité Mathématiques · Thème : Probabilités & Dénombrement

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Place dans le programme et prérequis

Ce chapitre est nouveau dans le programme de spécialité depuis 2020. Il introduit une inégalité de concentration — l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev — qui majore la probabilité qu'une variable aléatoire s'écarte fortement de son espérance, puis l'applique à la moyenne empirique d'un échantillon pour établir un cadre théorique à la loi des grands nombres.

Prérequis indispensables :

• Variable aléatoire, espérance, variance, écart-type (fiche Variables aléatoires et sommes)
• Somme de variables indépendantes, comportement de la moyenne empirique
• Manipulation d'inégalités

Chapitre débouchant sur : applications statistiques (sondages, estimation), théorie des grands nombres (post-bac).

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1. Notions clés

1.1 Écart à l'espérance

Pour une v.a. $X$ d'espérance ${\color{#00B050}{m}} = E(X)$, l'écart de $X$ à son espérance est $|X - {\color{#00B050}{m}}|$.

Question naturelle : quelle est la probabilité que cet écart soit « grand » ?

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev répond en majorant cette probabilité à l'aide de la variance de $X$.

1.2 Moyenne empirique (échantillon)

Soit $X_1, X_2, \ldots, X_n$ des v.a. indépendantes et de même loi (dites « i.i.d. »), avec espérance commune ${\color{#00B050}{m}}$ et variance commune $\sigma^2$.

La moyenne empirique de l'échantillon est : $M_n = \dfrac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}$

Interprétation : c'est la « moyenne observée » sur $n$ répétitions de l'expérience.

1.3 Propriétés de $M_n$

D'après la fiche Variables aléatoires et sommes (méthode M4) :

$E(M_n) = {\color{#00B050}{m}} \qquad V(M_n) = \dfrac{\sigma^2}{n} \qquad \sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Point-clé : la variance de $M_n$ diminue avec $n$. La moyenne empirique se concentre autour de l'espérance ${\color{#00B050}{m}}$ quand $n$ augmente.

1.4 Loi (faible) des grands nombres

Pour tout $\delta > 0$ : $\lim_{n \to +\infty} P\big(|M_n - {\color{#00B050}{m}}| \geqslant \delta\big) = 0$

Interprétation : plus l'échantillon est grand, plus la moyenne empirique s'approche (probabilité) de l'espérance théorique. C'est le fondement de tous les sondages et estimations statistiques.

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2. Formulaire — théorèmes et propriétés

T1 — Inégalité de Bienaymé-Tchebychev (forme générale)

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance ${\color{#00B050}{m}}$ et de variance $V(X)$. Pour tout réel $\delta > 0$ : $P\big(|X - {\color{#00B050}{m}}| \geqslant \delta\big) \leqslant \dfrac{V(X)}{\delta^2}$

Forme équivalente (souvent plus utile au bac) : $P\big(|X - {\color{#00B050}{m}}| < \delta\big) \geqslant 1 - \dfrac{V(X)}{\delta^2}$

⚠ Attention au carré $\delta^2$ au dénominateur — erreur classique.

T2 — Inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à la moyenne empirique

Si $X_1, \ldots, X_n$ sont indépendantes et de même loi (espérance ${\color{#00B050}{m}}$, variance $\sigma^2$), alors pour tout $\delta > 0$ : $P\big(|M_n - {\color{#00B050}{m}}| \geqslant \delta\big) \leqslant \dfrac{\sigma^2}{n\,\delta^2}$

Forme équivalente : $P\big(|M_n - {\color{#00B050}{m}}| < \delta\big) \geqslant 1 - \dfrac{\sigma^2}{n\,\delta^2}$

Lecture : en augmentant $n$, le majorant $\dfrac{\sigma^2}{n\,\delta^2}$ tend vers $0$, ce qui donne la loi des grands nombres.

T3 — Loi faible des grands nombres

Sous les mêmes hypothèses, pour tout $\delta > 0$ : $\lim_{n \to +\infty} P\big(|M_n - {\color{#00B050}{m}}| \geqslant \delta\big) = 0$

Démonstration (conséquence directe de T2) : $\dfrac{\sigma^2}{n\,\delta^2} \to 0$ quand $n \to +\infty$, donc par comparaison la probabilité tend aussi vers $0$.

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3. Méthodes types au bac

M1 — Application directe de Bienaymé-Tchebychev à une v.a. $X$

Type d'énoncé : « Soit $X$ une v.a. avec $E(X) = 10$ et $V(X) = 4$. Majorer $P(|X - 10| \geqslant 3)$. »

Démarche.

1. Identifier ${\color{#00B050}{m}} = E(X) = 10$, $V(X) = 4$, $\delta = 3$.
2. Appliquer directement l'inégalité : $P(|X - 10| \geqslant 3) \leqslant \dfrac{4}{3^2} = \dfrac{4}{9}$

Rédaction canonique.

D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, pour tout $\delta > 0$ : $P(|X - E(X)| \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{V(X)}{\delta^2}$

Avec $\delta = 3$ : $P(|X - 10| \geqslant 3) \leqslant \dfrac{4}{9}$.

Où c'est tombé : régulier en QCM et question intermédiaire. Métropole 2022, Polynésie 2023, Amérique du Nord 2024.

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M2 — Encadrer une probabilité par la forme complémentaire

Type d'énoncé : « Minorer $P(|X - m| < \delta)$. »

Démarche. Utiliser directement la forme complémentaire $P(|X - {\color{#00B050}{m}}| < \delta) \geqslant 1 - \dfrac{V(X)}{\delta^2}$.

Exemple. Reprenant $X$ avec $E(X) = 10$, $V(X) = 4$, $\delta = 3$ :

$P(|X - 10| < 3) \geqslant 1 - \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9}$.

Autrement dit, la probabilité que $X$ soit dans l'intervalle $]7\,;13[$ est au moins $\dfrac{5}{9} \approx 55{,}6\,\%$.

Où c'est tombé : structure canonique. Métropole 2022, Polynésie 2023.

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M3 — Déterminer $n$ pour garantir un encadrement (question de seuil sur $M_n$)

Type d'énoncé (le plus fréquent au bac) : « À partir de quelle valeur de $n$ peut-on garantir $P(|M_n - m| < \delta) \geqslant 0{,}95$ ? »

Démarche canonique.

1. Appliquer Bienaymé-Tchebychev à $M_n$ : $P(|M_n - {\color{#00B050}{m}}| < \delta) \geqslant 1 - \dfrac{\sigma^2}{n\,\delta^2}$.
2. Il suffit de garantir $1 - \dfrac{\sigma^2}{n\,\delta^2} \geqslant 0{,}95$, soit $\dfrac{\sigma^2}{n\,\delta^2} \leqslant 0{,}05$.
3. Isoler $n$ : $n \geqslant \dfrac{\sigma^2}{0{,}05 \times \delta^2}$.
4. Prendre le plus petit entier $n$ vérifiant la condition.

Exemple. $\sigma^2 = 4$, $\delta = 0{,}5$. $n \geqslant \dfrac{4}{0{,}05 \times 0{,}25} = \dfrac{4}{0{,}0125} = 320$.

Il faut au moins $n = 320$ observations.

Où c'est tombé : Métropole juin 2022, sept. 2023, Polynésie 2024, Amérique du Nord 2024.

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M4 — Cas particulier : loi de Bernoulli / binomiale (fréquence empirique)

Contexte : on répète $n$ fois une expérience de Bernoulli de paramètre $p$. Soit $X_i$ la $i$-ème observation (0 ou 1), et $M_n = \dfrac{X_1 + \cdots + X_n}{n}$ la fréquence empirique de succès.

$E(X_i) = p$, $V(X_i) = p(1-p)$.

$E(M_n) = p$, $V(M_n) = \dfrac{p(1-p)}{n}$.

Bienaymé-Tchebychev appliquée à $M_n$ : $P(|M_n - p| \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{p(1-p)}{n\,\delta^2}$

Application typique : un sondage indique une fréquence $M_n$. Cette inégalité permet de dire qu'avec une certaine probabilité, $M_n$ est proche de la vraie proportion $p$ de la population.

Simplification usuelle : comme $p(1-p) \leqslant \dfrac{1}{4}$ (maximum atteint en $p = 1/2$), on peut majorer : $P(|M_n - p| \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{1}{4\,n\,\delta^2}$

Cette majoration est indépendante de $p$, donc utilisable même sans connaître $p$.

Où c'est tombé : croisement fréquent avec la loi binomiale. Métropole juin 2022, Polynésie 2023.

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M5 — Démontrer la loi (faible) des grands nombres pour un cas particulier

Type d'énoncé : « Démontrer que $\lim\limits_{n \to +\infty} P(|M_n - p| \geqslant 0{,}1) = 0$ pour $M_n$ fréquence empirique. »

Démarche.

1. Appliquer Bienaymé-Tchebychev à $M_n$ : $P(|M_n - p| \geqslant 0{,}1) \leqslant \dfrac{p(1-p)}{n \times 0{,}01}$.
2. Passer à la limite : $\dfrac{p(1-p)}{0{,}01\,n} \to 0$ quand $n \to +\infty$.
3. Conclure par le théorème de comparaison (puisque la probabilité est aussi $\geqslant 0$) : $\lim = 0$.

Rédaction canonique.

Par Bienaymé-Tchebychev : $0 \leqslant P(|M_n - p| \geqslant 0{,}1) \leqslant \dfrac{p(1-p)}{n \times (0{,}1)^2}$. Or $\dfrac{p(1-p)}{0{,}01\,n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$. D'après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n \to +\infty} P(|M_n - p| \geqslant 0{,}1) = 0$.

Où c'est tombé : Métropole sept. 2023, Polynésie 2024.

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4. Analyse fréquentielle

• Bienaymé-Tchebychev apparaît dans environ 30 % des sujets de bac spécialité maths — depuis la réforme 2020, sa fréquence est en augmentation.
• Format le plus fréquent — trois configurations :
  1. Application directe à une v.a. $X$ (M1, M2) — question courte, 2-3 points.
  2. Application à la moyenne empirique $M_n$ avec question de seuil sur $n$ (M3) — question centrale d'un exercice, 4-5 points.
  3. Cas de la fréquence empirique + loi des grands nombres (M4, M5) — souvent en fin d'exercice pour croiser avec la binomiale.
• Question de seuil (M3) : structure canonique du chapitre — présente dans presque tous les exercices utilisant Bienaymé-Tchebychev.
• Souvent en croisement avec la loi binomiale ou une v.a. discrète définie en début d'exercice.
• QCM : application directe de la formule avec valeurs numériques.

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5. Erreurs fréquentes

1. Oublier le carré $\delta^2$ au dénominateur — erreur numéro un. La formule est $\dfrac{V(X)}{\delta^2}$, pas $\dfrac{V(X)}{\delta}$.
2. Confondre les rôles de $X$ et de $M_n$ : pour $X$, $V(X)$ ; pour $M_n$, $\dfrac{\sigma^2}{n}$. Bien identifier la v.a. à laquelle on applique l'inégalité.
3. Oublier le facteur $\dfrac{1}{n}$ dans $V(M_n)$ : la moyenne empirique a une variance divisée par $n$, pas identique à celle de $X_i$.
4. Utiliser Bienaymé-Tchebychev sans indépendance pour $M_n$ : la formule $V(M_n) = \dfrac{\sigma^2}{n}$ exige l'indépendance des $X_i$.
5. Confondre inégalité stricte et large : $|X - m| \geqslant \delta$ ou $|X - m| > \delta$ — attention à la formulation de l'énoncé.
6. Utiliser la majoration $p(1-p) \leqslant \dfrac{1}{4}$ sans la justifier : rappeler brièvement que la fonction $p \mapsto p(1-p)$ atteint son maximum en $p = 1/2$.
7. Oublier de vérifier l'hypothèse « v.a. de même loi » dans l'application à $M_n$.
8. Confondre écart-type et variance dans la formule ($V$ au numérateur, pas $\sigma$).
9. Chercher une majoration exacte au lieu d'une inégalité : Bienaymé-Tchebychev donne un encadrement, pas la valeur exacte.
10. Écrire la loi des grands nombres avec convergence non stochastique : la convergence est en probabilité, pas ponctuelle.

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6. Formulaire à retenir

Objet	Formule
Bienaymé-Tchebychev (v.a. $X$)	$P(
Forme complémentaire	$P(
Moyenne empirique $M_n$	$M_n = \dfrac{X_1 + \cdots + X_n}{n}$
$E(M_n)$	$m$ (même que $E(X_i)$)
$V(M_n)$	$\dfrac{\sigma^2}{n}$ (si indépendance)
B-T pour $M_n$	$P(
Cas Bernoulli — fréquence	$P(
Majoration universelle	$p(1-p) \leqslant \dfrac{1}{4}$, donc $\leqslant \dfrac{1}{4n\,\delta^2}$
Loi faible des grands nombres	$\lim_{n \to +\infty} P(

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7. Annales à consulter sur vecteurmaths.fr

Question de seuil sur $n$ appliquée à $M_n$ (M3) — exercice-type :

• Métropole — 2024 J1 ex. 4 · 2024 J2 ex. 1