Exercice 1 — Loi binomiale, Variables aléatoires et sommes

Au basket-ball, il est possible de marquer des paniers rapportant un point, deux points ou trois points.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

L'entraineur d'une équipe de basket décide d'étudier les statistiques de réussite des lancers de ses joueurs. Il constate qu'à l'entrainement, lorsque Victor tente un panier à trois points, il le réussit avec une probabilité de $0,32$.

Lors d'un entrainement, Victor effectue une série de $15$ lancers à trois points. On suppose que ces lancers sont indépendants.

On note $N$ la variable aléatoire qui donne le nombre de paniers marqués.

Les résultats des probabilités demandées seront, si nécessaire, arrondis au millième.

• 1. On admet que la variable aléatoire $N$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.

• 2. Calculer la probabilité que Victor réussisse exactement 4 paniers lors de cette série.

• 3. Déterminer la probabilité que Victor réussisse au plus 6 paniers lors de cette série.

• 4. Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $N$.

• 5. On note $T$ la variable aléatoire qui donne le nombre de points marqués après cette série de lancers.

  • a) Exprimer $T$ en fonction de $N$.

  • b) En déduire l'espérance de la variable aléatoire $T$. Donner une interprétation de cette valeur dans le contexte de l'exercice.

  • c) Calculer $P(12 \leqslant T \leqslant 18)$.

Partie B

On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de points marqués par Victor lors d'un match.

On admet que l'espérance $E(X) = 22$ et la variance $V(X) = 65$.

Victor joue $n$ matchs, où $n$ est un nombre entier strictement positif.

On note $X_{1}, X_{2}, …, X_{n}$ les variables aléatoires donnant le nombre de points marqués au cours des $1^er,\, 2^e,\, …, n$-ième matchs. On admet que les variables aléatoires $X_{1},\, X_{2},\, …,\, X_{n}$ sont indépendantes et suivent la même loi que celle de $X$.

On pose $\quad M_{n}=\dfrac{X_{1} + X_{2} + … + X_{n}}{n}$.

• 1. Dans cette question, on prend $n = 50$.

  • a) Que représente la variable aléatoire $M_{50}$ ?

  • b) Déterminer l'espérance et la variance de $M_{50}$.

  • c) Démontrer que $P\left(\left|M_{50}-22\right| \geqslant 3\right) \leqslant \dfrac{13}{90}$.

  • d) En déduire que la probabilité de l'évènement «  $19<M_{50}<25$ » est strictement supérieure à 0,85.

• 2. Indiquer, en justifiant, si l'affirmation suivante est vraie ou fausse :

  « Il n'existe aucun entier naturel $n$ tel que $P\big(\left|M_{n}-22\right| \geqslant 3\big)< 0,01$ ».