Exercice 2 — Probabilités conditionnelles et arbres, Loi binomiale

Une entreprise qui fabrique des jouets doit effectuer des contrôles de conformité avant leur commercialisation. Dans cet exercice, on s'intéresse à deux tests effectués par l'entreprise de jouets : un test de fabrication et un test de sécurité.

À la suite d'un grand nombre de vérifications, l'entreprise affirme que:

• 95 % des jouets réussissent le test de fabrication ;
• Parmi les jouets qui réussissent le test de fabrication, 98 % réussissent le test de sécurité ;
• 1 % des jouets ne réussissent aucun des deux tests.

On choisit au hasard un jouet parmi les jouets produits. On note:

• $F$ l'évènement : « le jouet réussit le test de fabrication » ;
• $S$ l'évènement : « le jouet réussit le test de sécurité ».

Partie A

• 1. À partir des données de l'énoncé, donner les probabilités $P(F)$ et $P_F(S)$.

• 2.

  • a) Construire un arbre pondéré qui illustre la situation avec les données disponibles dans l'énoncé.

  • b) Montrer que $P_{\overline{F}}\left(\overline{S}\right) = 0,2$.

• 3. Calculer la probabilité que le jouet choisi réussisse les deux tests.

• 4. Montrer que la probabilité que le jouet réussisse le test de sécurité vaut 0,97 arrondi au centième.

• 5. Lorsque le jouet a réussi le test de sécurité, quelle est la probabilité qu'il réussisse le test de fabrication? Donner une valeur approchée du résultat au centième.

Partie B

On prélève au hasard dans la production de l'entreprise un lot de $n$ jouets, où $n$ est un entier strictement positif. On suppose que ce prélèvement se fait sur une quantité suffisamment grande de jouets pour être assimilé à une succession de $n$ tirages indépendants avec remise.

On rappelle que la probabilité qu'un jouet réussisse le test de fabrication est égale à $0,95$.

Soit $S_n$ la variable aléatoire qui compte le nombre de jouets ayant réussi le test de fabrication. On admet que $S_n$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0,95$.

• 1. Exprimer l'espérance et la variance de la variable aléatoire $S_n$ en fonction de $n$.

• 2. Dans cette question, on pose $n = 150$.

  • a) Déterminer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $P\left(S_{150} = 145\right)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

  • b) Déterminer la probabilité qu'au moins 94 % des jouets de ce lot réussissent le test de fabrication. Donner une valeur approchée du résultat à $10^{-3}$ près.

• 3. Dans cette question, l'entier naturel non nul $n$ n'est plus fixé.

  Soit $F_n$ la variable aléatoire définie par : $F_n = \dfrac{S_n}{n}$. La variable aléatoire $F_n$ représente la proportion des jouets qui réussissent le test de fabrication dans un lot de $n$ jouets prélevés.

  On note $E(F_n)$ l'espérance et $V(F_n)$ la variance de la variable aléatoire $F_n$.

  • a) Montrer que $E(F_n) = 0,95$ et que $V(F_n) = \dfrac{0,0475}{n}$.

  • b) On s'intéresse à l'évènement $I$ suivant: « la proportion de jouets qui réussissent le test de fabrication dans un lot de $n$ jouets est strictement comprise entre 93 % et 97 % ».

    En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, déterminer une valeur $n$ de la taille du lot de jouets à prélever, à partir de laquelle la probabilité de l'évènement $I$ est supérieure ou égale à $0,96$.