Exercice 1 — Probabilités conditionnelles et arbres, Variables aléatoires et sommes

Un navire assure la liaison entre deux ports de la Méditerranée.

Lors d'une traversée, une famille a la possibilité de réserver une cabine ainsi qu'un emplacement pour un véhicule.

Partie A

Parmi l'ensemble des familles effectuant la traversée, on constate que $30$ réservent un emplacement pour un véhicule et, parmi ces dernières, $80$ réservent une cabine.

On sait par ailleurs que $75$ des familles effectuant la traversée réservent une cabine.

On choisit au hasard une famille effectuant la traversée, et on considère les évènements suivants :

• $V$ : «  la famille réserve un emplacement pour un véhicule »;

• $C$ : «  la famille réserve une cabine » .

Pour un évènement quelconque $E$, on désigne par $\overline{E}$ son évènement contraire et par $P(E)$ sa probabilité.

• 1.

  • a) Donner $P(C)$.

  • b) Reproduire l'arbre ci-contre et compléter les quatre pointillés.

  (Figure : voir le sujet PDF.)

   

• 2. Calculer la probabilité qu'une famille réserve un emplacement pour un véhicule et une cabine.

• 3. Une famille a réservé une cabine.

  Déterminer la probabilité qu'elle réserve un emplacement pour un véhicule.

• 4. Déterminer $P_{\overline{V}}(C)$.

  On arrondira le résultat à $10^{-2}$.

  Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B

Sur ce trajet, la réservation d'une cabine et d'un emplacement pour un véhicule sont facturés en supplément du coût de la traversée.

Ces suppléments sont d'un montant de :

• 100 € pour une cabine ;

• 70 € pour l'emplacement d'un véhicule.

On suppose qu'une famille peut réserver au maximum une cabine et au maximum un emplacement pour un véhicule.

À ces suppléments peuvent s'ajouter le prix payé pour des extras (repas, boissons, etc.).

On note $X$ la variable aléatoire qui associe, à chaque famille effectuant la traversée, le prix qu'elle paie, en euro, pour les suppléments.

On donne ci-dessous la loi de probabilité de $X$.

(Tableau : voir le sujet PDF.)

On note $Y$ la variable aléatoire qui associe, à chaque famille effectuant la traversée, le prix qu'elle paie, en euro, pour les extras.

On admet que la variable aléatoire $Y$ a pour espérance $\mathrm{E}(Y)=104$ et pour variance $\mathrm{V}(Y)=1686$.

On suppose que les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes.

• 1. Justifier que $\mathrm{E}(X)=96$ et que $\mathrm{V}(X)=3114$.

• 2. À titre exceptionnel, la compagnie propose une remise de $40$ sur les suppléments et les extras.

  On note $Z$ la variable aléatoire qui, à chaque famille effectuant la traversée, associe le montant total pour les suppléments et les extras, en euro, payé par cette famille après réduction.

  • a) Justifier que $Z = 0,6(X + Y)$.

  • b) En déduire que $\mathrm{E}(Z)=120$ et que $\mathrm{V}(Z)=1728$,

    où $\mathrm{E}(Z)$ est l'espérance de la variable aléatoire $Z$ et $\mathrm{V}(Z)$ sa variance.

• 3. On note $n$ un entier naturel non nul et on choisit au hasard un échantillon de $n$ familles effectuant cette traversée bénéficiant de la réduction exceptionnelle définie en question 2.

  On admet que ce choix peut être assimilé à un tirage avec remise.

  On désigne par $Z_{1}$ la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la première famille, $Z_{2}$ la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la deuxième famille et ainsi de suite, $Z_{n}$ la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la $n$-ième famille.

  On considère la variable aléatoire $M_{n}=\dfrac{Z_{1}+Z_{2}+…+Z_{n}}{n}$ donnant le prix total moyen pour les suppléments et les extras, payé par ces familles.

  On admet que les variables $Z_{1}$,, $Z_{2}$,, …, $Z_{n}$ sont indépendantes et suivent la même loi de probabilité que la variable aléatoire $Z$.

  • a) Montrer que l'espérance $\mathrm{E}\big(M_{n}\big)$ de la variable $M_{n}$ est égale à 120, et que sa variance $\mathrm{V}\big(M_{n}\big)$ est égale à $\dfrac{1728}{n}$.

  • b) Déterminer le plus petit entier $n$ pour lequel l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet d'affirmer que

    $\mathrm{P}\big(114<M_{n}<126\big) \geqslant 0,85.$

    Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.