Exercice 1 — Probabilités conditionnelles et arbres, Loi binomiale

Un supermarché dispose d'un stock de tomates provenant de deux fournisseurs A et B.

II a été constaté que :

• 91 % du stock de tomates est commercialisable ;
• 60 % du stock de tomates provient du fournisseur A ;
• parmi les tomates provenant du fournisseur A , la proportion de tomates commercialisables est de 95 %.

On choisit au hasard une tomate dans le stock.

On désigne par :

• $A$ l'évènement « La tomate provient du fournisseur A » ;
• $B$ l'évènement « La tomate provient du fournisseur B » ;
• $C$ l'évènement « La tomate est commercialisable ».

Pour un évènement quelconque $E$, on note $P(E)$ la probabilité de $E$.

Partie A

• 1. Recopier l'arbre ci-dessous en complétant les pointillés.

  (Figure : voir le sujet PDF.)

• 2.

  • a) Déterminer la probabilité que la tomate choisie soit commercialisable et provienne du fournisseur A

  • b) Démontrer que $P_B(C) = 0,85$.

  • c) La tomate choisie est non commercialisable. Le responsable des achats estime qu'il y a deux fois moins de chance qu'elle provienne du fournisseur A que du fournisseur B. A-t-il raison ?

Partie B

On rappelle que 9 % des tomates du stock ne sont pas commercialisables.

• 1. On prend $15$ tomates dans le stock au hasard et de manière indépendante. On considère que le stock est suffisamment important pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.

  On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de tomates non commercialisables dans cet échantillon de $15$ tomates.

  • a) On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. En préciser les paramètres.

  • b) Déterminer la probabilité qu'exactement deux tomates soient non commercialisables.

    On donnera la valeur arrondie au millième.

  • c) Déterminer la probabilité qu'au plus deux tomates soient non commercialisables.

    On donnera la valeur arrondie au millième.

• 2. On constitue désormais un échantillon de $n$ tomates, toujours dans les mêmes conditions, où $n$ désigne un entier naturel non nul.

  On note $X_n$, la variable aléatoire égale au nombre de tomates non commercialisables et $F_n$ la variable aléatoire égale à la fréquence de tomates non commercialisables dans cet échantillon de $n$ tomates.

  On a donc $F_n = \dfrac{X_n}{n}$.

  On admet que la variable aléatoire $X_n$, suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $0,09$.

  • a) Calculer l'espérance $E(F_n)$ et exprimer la variance $V(F_n)$ en fonction de $n$.

  • b) Démontrer que $P(0,04 < F_n < 0,14) \geqslant 1 - \dfrac{32,76}{n}$.

  • c) Le responsable des achats prélève dans le stock un échantillon de $500$ tomates. Il s'aperçoit que $55$ tomates ne sont pas commercialisables.

    Est-ce conforme à ce qu'il pouvait attendre ? Justifier la réponse.