Exercice 1 — Probabilités conditionnelles et arbres, Loi binomiale

*Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près en cas de besoin.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes l'une de l'autre.*

Partie A

Au tennis, le joueur qui est au service peut, en cas d'échec lors du premier service, servir une deuxième balle.

En match, Abel réussit son premier service dans 70 % des cas. Lorsque le premier service est réussi, il gagne le point dans 80 % des cas.

En revanche, après un échec à son premier service, Abel gagne le point dans 45 % des cas.

Abel est au service.

On considère les évènements suivants:

• $S$ : « Abel réussit son premier service »

• $G$ : « Abel gagne le point ».

• 1. Décrire l'évènement $S$ puis traduire la situation par un arbre pondéré.

• 2. Calculer $P(S \cap G)$.

• 3. Justifier que la probabilité de l'évènement $G$ est égale à $0,695$.

• 4. Abel a gagné le point. Quelle est la probabilité qu'il ait réussi son premier service ?

• 5. Les évènements $S$ et $G$ sont-ils indépendants ? Justifier.

Partie B

À la sortie d'une usine de fabrication de balles de tennis, une balle est jugée conforme dans 85 % des cas.

• 1. On teste successivement $20$ balles. On considère que le nombre de balles est suffisamment grand pour assimiler ces tests à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de balles conformes parmi les $20$ testées.

  • a) Quelle est la loi suivie par $X$ et quels sont ses paramètres ? Justifier.

  • b) Calculer $P(X \leqslant 18)$.

  • c) Quelle est la probabilité qu'au moins deux balles ne soient pas conformes parmi les $20$ balles testées ?

  • d) Déterminer l'espérance de $X$.

• 2. On teste maintenant $n$ balles successivement. On considère les $n$ tests comme un échantillon de $n$ variables aléatoires $X$ indépendantes suivant la loi de Bernoulli de paramètre $0,85$.

  On considère la variable aléatoire

  $M_n = \displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{X_i}{n} = \dfrac{X_1}{n} + \dfrac{X_2}{n} + \dfrac{X_3}{n} + … + \dfrac{X_n}{n}$

  • a) Déterminer l'espérance et la variance de $M_n$.

  • b) Après avoir rappelé l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que, pour tout entier naturel $n$,: $P(0,75 < M_n < 0,95) \geqslant 1 - \dfrac{12,75}{n}$.

  • c) En déduire un entier $n$ tel que la moyenne du nombre de balles conformes pour un échantillon de taille $n$ appartienne à l'intervalle ]0,75 ; 0,95 [ avec une probabilité supérieure à $0,9$.