Exercice 3 — Suites et récurrence

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$

$u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1 + u_n}$

• 1.

  • a) Calculer les termes $u_1$, $u_2$ et $u_3$. On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.

  • b) Recopier le script python ci-dessous et compléter les lignes 3 et 6 pour que liste($k$) prenne en paramètre un entier naturel $k$ et renvoie la liste des premières valeurs de la suite $\left(u_n\right)$ de $u_0$ à $u_k$.

    1.&def liste(k) :
    2.&     L = []
    3.&     u = …
    4.&     for i in range(0, k+1) :
    5.&          L.append(u)
    6.&          u = …
    7.&     return(L)
    

• 2. On admet que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est strictement positif.

  Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.

• 3. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge.

• 4. Déterminer la valeur de sa limite.

• 5.

  • a) Conjecturer une expression de $u_n$ en fonction de $n$.

  • b) Démontrer par récurrence la conjecture précédente.