Exercice 2 — Probabilités conditionnelles et arbres, Loi binomiale

Selon les autorités sanitaires d'un pays, 7 % des habitants sont affectés par une certaine maladie.

Dans ce pays, un test est mis au point pour détecter cette maladie. Ce test a les caractéristiques suivantes :

• Pour les individus malades, le test donne un résultat négatif dans $20$ des cas ;
• Pour les individus sains, le test donne un résultat positif dans $1$ des cas. Une personne est choisie au hasard dans la population et testée.

On considère les évènements suivants :

• $M$ « la personne est malade » ;

• $T$ « le test est positif ».

• 1. Calculer la probabilité de l'évènement $M \cap T$. On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré.

• 2. Démontrer que la probabilité que le test de la personne choisie au hasard soit positif, est de 0,0653.

• 3. Dans un contexte de dépistage de la maladie, est-il plus pertinent de connaître $P_M(T)$ ou $P_T(M)$ ?

• 4. On considère dans cette question que la personne choisie au hasard a eu un test positif.

  Quelle est la probabilité qu'elle soit malade ? On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près.

• 5. On choisit des personnes au hasard dans la population. La taille de la population de ce pays permet d'assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

  On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d'individus ayant un test positif parmi les 10 personnes.

  • a) Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.

  • b) Déterminer la probabilité pour qu'exactement deux personnes aient un test positif. On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près.

• 6. Déterminer le nombre minimum de personnes à tester dans ce pays pour que la probabilité qu'au moins l'une d'entre elle ait un test positif, soit supérieur à $99$.