Exercice 4 — Orthogonalité et produit scalaire, Représentations paramétriques et équations cartésiennes

L'espace est rapporté un repère orthonormal où l'on considère :

• les points A$(2 ; -1 ; 0)$, B$(1 ; 0 ; - 3)$, C$(6 ; 6 ; 1)$ et E$(1 ; 2 ; 4)$ ;

• Le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $2x - y - z + 4 = 0$.

• 1.

  • a) Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.

  • b) Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{\text{BA}} \cdot \overrightarrow{\text{BC}}$ puis les longueurs BA et BC.

  • c) En déduire la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ arrondie au degré.

• 2.

  • a) Démontrer que le plan $\mathcal{P}$ est parallèle au plan ABC.

  • b) En déduire une équation cartésienne du plan ABC.

  • c) Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ orthogonale au plan ABC et passant par le point E.

  • d) Démontrer que le projeté orthogonal H du point E sur le plan ABC a pour coordonnées $\left(4 ; \dfrac{1}{2} ; \dfrac{5}{2}\right)$.

• 3. On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par $\mathcal{V} = \dfrac13 \mathcal{B}h$ où $\mathcal{B}$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur de la pyramide associée à cette base.

  Calculer l'aire du triangle ABC puis démontrer que le volume de la pyramide ABCE est égal à $16,5$ unités de volume.