Exercice 3 — Loi binomiale, Probabilités conditionnelles et arbres

Les probabilités demandées seront exprimées sous forme de fractions irréductibles

Partie A

On lance trois fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois, sur les trois lancers, où la pièce est retombée du côté « Face ».

• 1. Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.

• 2. Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $X$

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

Partie B

Voici les règles d'un jeu où le but est d'obtenir trois pièces du côté « Face » en un ou deux essais :

• On lance trois pièces équilibrées :

• Si les trois pièces sont tombées du côté « Face », la partie est gagnée ;

• Sinon, les pièces tombées du côté « Face » sont conservées et on relance celles tombées du côté « Pile ».

• La partie est gagnée si on obtient trois pièces du côté « Face », sinon elle est perdue.

On considère les évènements suivants :

• $G$ : « la partie est gagnée ».

Et pour tout entier $k$ compris entre 0 et 3, les évènements:

• $A_k$ : « $k$ pièces sont tombées du côté « Face » au premier lancer ».

• 1. Démontrer que $P_{A_1}(G) = \dfrac14$.

• 2. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous:

  (Figure : voir le sujet PDF.)

• 3. Démontrer que la probabilité $p$ de gagner à ce jeu est $p = \dfrac{27}{64}$

• 4. La partie a été gagnée. Quelle est la probabilité qu'exactement une pièce soit tombée du côté « Face » à la première tentative ?

• 5. Combien de fois faut-il jouer à ce jeu pour que la probabilité de gagner au moins une partie dépasse $0,95$ ?