Exercice 1 — Probabilités conditionnelles et arbres, Loi binomiale

Une plateforme de diffusion musicale propose trois types d'abonnements : « Étudiant », « Classique » et « Famille ». Elle propose également une option « Écoute hors-ligne » qu'on peut activer pour chaque type d'abonnement et qui permet de télécharger de la musique.

Une étude statistique menée sur les abonnés a permis d'établir que :

• $25$ des abonnés ont choisi l'abonnement « Étudiant » et $15$ ont choisi l'abonnement «  Famille »;
• $45$ des abonnés « Étudiant » ont activé l'option « Écoute hors-ligne »;
• $30$ des abonnés « Classique » ont activé l'option « Écoute hors-ligne »;
• $12$ des abonnés ont choisi l'abonnement « Famille » et ont activé l'option « Écoute hors-ligne ».

On prélève au hasard le profil d'un abonné et on considère les évènements suivants :

• $E$ : l'abonné a choisi l'abonnement « Étudiant »;
• $C$ : l'abonné a choisi l'abonnement « Classique »;
• $F$ : l'abonné a choisi l'abonnement « Famille »;
• $H$ : l'abonné a activé l'option « Écoute hors-ligne ».

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• 1. Recopier l'arbre de probabilités suivant, en complétant les pointillés:

  (Figure : voir le sujet PDF.)

• 2. Calculer la valeur exacte de $P(E \cap H)$.

• 3. Démontrer que la probabilité qu'un abonné ait activé l'option « Écoute hors-ligne » est de 0,4125.

• 4. Un abonné a activé l'option « Écoute hors-ligne ». Déterminer la probabilité qu'il ait choisi l'abonnement « Étudiant ». On arrondira le résultat au millième.

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On choisit huit abonnés de cette plateforme, au hasard et de manière indépendante. On considère qu'il y a suffisamment d'abonnés pour que ce choix soit assimilé à un tirage avec remise.

On rappelle que la probabilité qu'un abonné ait activé l'option « Écoute hors-ligne » est de 0,4125.

On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre d'abonnés ayant activé l'option « Écoute hors-ligne ».

• 1. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.

• 2. Calculer la probabilité qu'aucun de ces huit abonnés n'ait activé l'option « Écoute hors-ligne ». On arrondira le résultat au millième.

• 3. Dans cette question, $n$ est un entier naturel non nul.

  On s'intéresse à un échantillon de $n$ abonnés, qu'on assimile à un tirage avec remise.

  On note $q_{n}$ la probabilité qu'au moins un abonné de cet échantillon ait activé l'option « Écoute hors-ligne ».

  • a) Démontrer que, pour tout $n$ entier naturel non nul, $q_{n}=1- 0,5875^{n}$.

  • b) Déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que la probabilité qu'au moins un abonné de l'échantillon ait activé l'option « Écoute hors-ligne » soit supérieure ou égale à $99,9$.

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La plateforme propose les tarifs mensuels suivants :

• Abonnement « Étudiant » : 5 € par mois ;
• Abonnement « Classique » : 10 € par mois ;
• Abonnement « Famille » : 16 € par mois ;
• Option « Écoute hors-ligne » : 2 € de plus par mois, quel que soit l'abonnement choisi.

On note $Y$ la variable aléatoire égale au montant payé mensuellement par un abonné.

• 1. Donner les six valeurs possibles prises par la variable aléatoire $Y$.

• 2. Dresser le tableau décrivant la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y$.

• 3. Démontrer que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $Y$ vaut 10,475 et interpréter ce résultat dans le contexte.

• 4. À l'aide de la calculatrice, donner la variance de la variable aléatoire $Y$, arrondie au centième.

• 5. Une plateforme vidéo propose les mêmes types d'abonnements. On note $Z$ la variable aléatoire égale au montant payé mensuellement par un abonné à cette plateforme vidéo.

  On admet que l'espérance de la variable aléatoire $Z$ vaut 9 et son écart-type 2.

  • a) Calculer la variance de la variable aléatoire $Z$.

  • b) Un responsable affirme que, si on interroge un abonné de cette plateforme vidéo au hasard, il y a au moins $50$ de chances pour que le prix de son abonnement soit strictement compris entre 6 et 12 euros.

    Justifier cette affirmation.