Exercice 1 — Probabilités conditionnelles et arbres, Loi binomiale

En France il y a deux formules pour obtenir le permis de conduire :

• Suivre à partir de 15 ans une formation de conduite accompagnée pendant 2 ans ;

• Suivre la formation classique (sans conduite accompagnée) à partir de 17 ans.

En France actuellement, parmi les jeunes qui suivent une formation au permis de con-duire, 16 % choisissent la formation de conduite accompagnée, et parmi eux, 74,7 % réussissent l'examen de conduite dès leur première tentative.

En suivant la formation classique, le taux de réussite dès la première tentative est seulement de 56,8 %.

On choisit au hasard un jeune français qui a déjà passé l'examen de conduite et on considère les évènements $A$ et $R$ suivants :

• $A$ : « le jeune a suivi la formation de conduite accompagnée »;

• $R$ : « le jeune a eu le permis dès sa première tentative ».

On arrondira les résultats à $\mathbf{10}^{\mathbf{-3}}$ près, si nécessaire.

Partie A

• 1. Dresser un arbre de probabilités modélisant cette situation.

• 2.

  • a) Démontrer que $P(R)= 0,59664$.

  Dans la suite, on gardera la valeur 0,597 arrondie à $10^{-3}$ près.

  • a) Donner ce résultat en pourcentage et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.

• 3. On choisit un jeune ayant eu son permis dès sa première tentative. Quelle est la probabilité qu'il ait suivi la formation de conduite accompagnée ?

• 4. Quelle devrait être la proportion de jeunes suivant la formation de conduite accompagnée si on voulait que le taux de réussite global (quelle que soit la formation choisie) dès la première tentative à l'examen de conduite dépasse $70$ ?

Partie B

Une auto-école présente pour la première fois à l'examen de conduite 10 candidats qui ont suivi la formation de conduite accompagnée. On modélise le fait de passer les examens de conduite par des épreuves aléatoires indépendantes.

On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de ces 10 candidats qui auront leur permis dès la première tentative.

• 1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,747$.

• 2. Calculer $P(X \geqslant 6)$. Interpréter ce résultat.

• 3. Déterminer $E(X)$ et $V(X)$.

• 4. Il y a aussi 40 candidats qui n'ont pas suivi la formation de conduite accompagnée et qui se présentent pour la première fois à l'examen de conduite. De la même manière, on note $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre de ces candidats qui auront le permis à la première tentative. On admet que $Y$ est indépendante de la variable $X$ et qu'en fait $E(Y)=22,53$ et $V(Y)=9,81$.

  On note alors $Z$ la variable aléatoire comptant le nombre total de candidats (parmi les 50) qui auront le permis de conduire dès la première tentative dans cette auto-école.

  • a) Exprimer $Z$ en fonction de $X$ et $Y$. En déduire $E(Z)$ et $V(Z)$.

  • b) En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que la probabilité qu'il y ait au plus 20 ou au moins 40 candidats qui aient leur permis dès la première tentative est inférieure à 0,12.