Exercice 4 — Suites définies par une fonction (uₙ₊₁ = f(uₙ))

L'objectif de cet exercice est de conjecturer en partie A puis de démontrer en partie B le comportement d'une suite. Les deux parties peuvent cependant être traitées de manière indépendante. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 3$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$u_{n+1} = \dfrac{4}{5 - u_n}.$$ **Partie A** - **1.** Recopier et compléter la fonction Python suivante `suite(n)` qui prend comme paramètre le rang $n$ et renvoie la valeur du terme $u_n$. *(Tableau : voir le sujet PDF.)* - **2.** L'exécution de `suite(2)` renvoie 1.3333333333333333. Effectuer un calcul pour vérifier et expliquer cet affichage. - **3.** À l'aide des affichages ci-dessous, émettre une conjecture sur le sens de variation et une conjecture sur la convergence de la suite $\left(u_n\right)$. *(Tableau : voir le sujet PDF.)* **Partie B** On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $] -\infty ; 5[$ par: $$f(x) = \dfrac{4}{5 - x}.$$ Ainsi, la suite $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0 = 3$ et pour tout $n \in \mathbb{N},\:\: u_{n+1} = f\left(u_n\right)$. - **1.** Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $]-\infty ; 5[$. - **2.** Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a : $$1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 4.$$ - **3.** - **a)** Soit $x$ un réel de l'intervalle $]-\infty ; 5[$. Prouver l'équivalence suivante: $$f(x) = x \iff x^2 - 5x + 4 = 0.$$ - **b)** Résoudre $f(x) = x$ dans l'intervalle $]-\infty ; 5[$. - **4.** Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. Déterminer sa limite. - **5.** Le comportement de la suite serait-il identique en choisissant comme terme initial $u_0 = 4$ au lieu de $u_0 = 3$ ?