Exercice 1 — Probabilités conditionnelles et arbres, Loi binomiale

Un sondage réalisé en France fournit les informations suivantes :

• 60 % des plus de 15 ans ont l'intention de regarder les jeux Olympiques et Paralympiques (JOP) de Paris 2024 à la télévision ;
• parmi ceux qui ont l'intention de regarder les JOP, 8 personnes sur 9 déclarent pratiquer une activité sportive régulière.

On choisit au hasard une personne de plus de 15 ans. On considère les évènements suivants :

• $J$ : « la personne a l'intention de regarder les JOP Paris 2024 à la télévision »\ ;
• $S$ : « la personne choisie déclare pratiquer une activité sportive régulière ».

On note $\overline{J}$ et $\overline{S}$ leurs évènements contraires.

Dans les questions $1$. et $2$., les probabilités seront données sous la forme d'une fraction irréductible.

• 1. Démontrer que la probabilité que la personne choisie ait l'intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière est de $\dfrac{8}{15}$.

  On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré.

Selon ce sondage, deux personnes sur trois parmi les plus de 15 ans déclarent pratiquer une activité sportive régulière.

• 1.

  • a) Calculer la probabilité que la personne choisie n'ait pas l'intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière.

  • b) En déduire la probabilité de $S$ sachant $\overline{J}$ notée $P_{\overline{J}}(S)$.

Dans la suite de l'exercice, les résultats seront arrondis au millième.

• 1. Dans le cadre d'une opération de promotion, $30$ personnes de plus de $15$ ans sont choisies au hasard.

  On assimile ce choix à un tirage avec remise.

  On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes déclarant pratiquer une activité sportive régulière parmi les $30$ personnes.

  • a) Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.

  • b) Calculer la probabilité qu'exactement $16$ personnes déclarent pratiquer une activité sportive régulière parmi les $30$ personnes.

  • c) La fédération française de judo souhaite offrir une place pour la finale de l'épreuve par équipe mixte de judo à l'Arena Champ-de-Mars pour chaque personne déclarant pratiquer une activité sportive régulière parmi ces $30$ personnes.

    Le prix d'une place s'élève à 380 € et on dispose d'un budget de 10000 euros pour cette opération.

    Quelle est la probabilité que ce budget soit insuffisant ?