Exercice 3 — Suites définies par une fonction (uₙ₊₁ = f(uₙ))

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par :

$u_0 = 8$ : et pour tout entier naturel ::$n,\:\: u_{n+1} = u_n -\ln\left(\dfrac{u_n}{4}\right)$.

• 1.

  • a) Donner les valeurs arrondies au centième de $u_1$ et $u_2$.

  • b) On considère la fonction mystere définie ci-dessous en Python. On admet que, pour tout réel strictement positif a, log(a) renvoie la valeur du logarithme népérien de a.

    def mystere(k) :
         u = 8
         S = 0
         for i in range(k) :
              S = S + u
              u = u - log( u / 4 )
         return S
    

    L'exécution de mystere(10) renvoie 58.44045206721732. Que représente ce résultat ?

  • c) Modifier la fonction précédente afin qu'elle renvoie la moyenne des $k$ premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.

• 2. On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $]0 ; +\infty[$ par :

  $f(x) = x - \ln\left(\dfrac{x}{4}\right).$

  On donne ci-dessous une représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ pour les valeurs de $x$ comprises entre 0 et 6.

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  Étudier les variations de $f$ sur $]0 ; +\infty[$ et dresser son tableau de variations.

  On précisera la valeur exacte du minimum de $f$ sur $]0 ; +\infty[$. Les limites ne sont pas demandées.

Dans la suite de l'exercice, on remarquera que pour tout entier naturel $n$,: $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.

• 1.

  • a) Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, on a :

    $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n.$

  • b) En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers une limite réelle.

    On note $\ell$ la valeur de cette limite

  • c) Résoudre l'équation $f(x) = x$.

  • d) En déduire la valeur de $\ell$.