Exercice 3 — Suites et récurrence

On considère une pyramide à base carrée formée de boules identiques empilées les unes sur les autres :

• le 1$^{er}$ étage, situé au niveau le plus haut, est composé de 1 boule ;
• le 2$^e$ étage, niveau juste en dessous, est composé de 4 boules ;
• le 3$^e$ étage possède 9 boules ;
• …
• le $n$-ième étage possède $n^2$ boules.

(voir la figure dans le sujet PDF)

Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $u_n$ le nombre de boules qui composent le $n$-ième étage en partant du haut de la pyramide. Ainsi, $u_n = n^2$.

• 1. Calculer le nombre total de boules d'une pyramide de 4 étages.
• 2. On considère la suite $(S_n)$ définie pour tout entier $n \geqslant 1$ par $S_n = u_1 + u_2 + \ldots + u_n$.
  • a) Calculer $S_5$ et interpréter ce résultat.
  • b) On considère la fonction pyramide ci-dessous écrite de manière incomplète en langage Python. Recopier et compléter le cadre ci-dessous de sorte que, pour tout entier naturel non nul $n$, l'instruction pyramide(n) renvoie le nombre de boules composant une pyramide de $n$ étages.

def pyramide(n) :
    S = 0
    for i in range(1, n+1) :
        S = ...
    return ...

• c) Vérifier que pour tout entier naturel $n$ : $\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 = \dfrac{(n + 1)(n +2)[2(n + 1) + 1]}{6}$
• d) Démontrer par récurrence que pour tout entier $n \geqslant 1$ : $S_n = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}.$
• 3. Un marchand souhaite disposer des oranges en pyramide à base carrée. Il possède $200$ oranges. Combien d'oranges utilise-t-il pour construire la plus grande pyramide possible ?