Exercice 2 — Dérivation, Continuité et TVI

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

• 1. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \text{e}^x + x$.
  • Affirmation A : La fonction $f$ admet pour tableau de variations le tableau ci-dessous : (voir le tableau dans le sujet PDF : $f$ croissante de $-\infty$ à $+\infty$)
  • Affirmation B : L'équation $f(x) = -2$ admet deux solutions dans $\mathbb{R}$.
• 2. Affirmation C : $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x) - x^2 + 2}{3x^2} = -\dfrac13.$
• 3. On considère la fonction $k$ définie et continue sur $\mathbb{R}$ par $k(x) = 1 + 2\text{e}^{-x^2 + 1}$.
  • Affirmation D : Il existe une primitive de la fonction $k$ décroissante sur $\mathbb{R}$.
• 4. On considère l'équation différentielle $(E) : \quad 3y' + y = 1$.
  • Affirmation E : La fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = 4\text{e}^{-\frac13 x} + 1$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ avec $g(0) = 5$.
• 5. Affirmation F : Une intégration par parties permet d'obtenir : $\int_0^1 x\,\text{e}^{-x}\,\text{d}x = 1 - 2\,\text{e}^{-1}.$