Exercice 1 — Probabilités conditionnelles et arbres, Loi binomiale

Une concession automobile vend deux sortes de véhicules :

• 60 % sont des véhicules tout-électrique ;
• 40 % sont des véhicules hybrides rechargeables.

75 % des acheteurs de véhicules tout-électrique et 52 % des acheteurs de véhicules hybrides ont la possibilité matérielle d'installer une borne de recharge à domicile.

On choisit un acheteur au hasard et on considère les évènements suivants :

• $E$ : « l'acheteur choisit un véhicule tout-électrique » ;
• $B$ : « l'acheteur a la possibilité d'installer une borne de recharge à son domicile ».

Dans l'ensemble de l'exercice, les probabilités seront arrondies au millième si nécessaire.

• 1. Calculer la probabilité que l'acheteur choisisse un véhicule tout-électrique et qu'il ait la possibilité d'installer une borne de recharge à son domicile. On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré.
• 2. Démontrer que $P(B) = 0{,}658$.
• 3. Un acheteur a la possibilité d'installer une borne de recharge à son domicile. Quelle est la probabilité qu'il choisisse un véhicule tout-électrique ?
• 4. On choisit un échantillon de $20$ acheteurs. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre total d'acheteurs pouvant installer une borne de recharge à leur domicile parmi l'échantillon de $20$ acheteurs.
  • a) Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
  • b) Calculer $P(X = 8)$.
  • c) Calculer la probabilité qu'au moins 10 acheteurs puissent installer une borne de recharge.
  • d) Calculer l'espérance de $X$.
  • e) La directrice de la concession décide d'offrir l'installation de la borne de recharge aux acheteurs ayant la possibilité d'en installer une à leur domicile. Cette installation coûte $1\,200$ €. En moyenne, quelle somme doit-elle prévoir d'engager pour cette offre lors de la vente de $20$ véhicules ?