Exercice 4 — Vecteurs, droites et plans, Orthogonalité et produit scalaire

On considère un cube ABCDEFGH et l'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}\,;\,\overrightarrow{\text{AB}},\,\overrightarrow{\text{AD}},\,\overrightarrow{\text{AE}}\right)$.

Pour tout réel $m$ appartenant à l'intervalle $[0\,;\,1]$, on considère les points $K$ et $L$ de coordonnées : $K(m\,;\,0\,;\,0)$ et $L(1 - m\,;\,1\,;\,1)$.

(voir la figure dans le sujet PDF)

• 1. Donner les coordonnées des points E et C dans ce repère.
• 2. Dans cette question, $m = 0$. Ainsi, le point $L(1\,;\,1\,;\,1)$ est confondu avec le point G, le point $K(0\,;\,0\,;\,0)$ est confondu avec le point A et le plan (LEK) est donc le plan (GEA).
  • a) Justifier que le vecteur $\overrightarrow{\text{DB}}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$ est normal au plan (GEA).
  • b) Déterminer une équation cartésienne du plan (GEA).

On s'intéresse désormais à la nature de CKEL en fonction du paramètre $m$.

• 3. Dans cette question, $m$ est un réel quelconque de l'intervalle $[0\,;\,1]$.
  • a) Démontrer que CKEL est un parallélogramme.
  • b) Justifier que $\overrightarrow{KC} \cdot \overrightarrow{KE} = m(m - 1)$.
  • c) Démontrer que CKEL est un rectangle si, et seulement si, $m = 0$ ou $m = 1$.
• 4. Dans cette question, $m = \dfrac12$. Ainsi, L a pour coordonnées $\left(\dfrac12\,;\,1\,;\,1\right)$ et K a pour coordonnées $\left(\dfrac12\,;\,0\,;\,0\right)$.
  • a) Démontrer que le parallélogramme CKEL est alors un losange.
  • b) À l'aide de la question 3. b., déterminer une valeur approchée au degré près de la mesure de l'angle $\widehat{\text{CKE}}$.