Exercice 1 — Probabilités conditionnelles et arbres, Loi binomiale

Un jeu vidéo récompense par un objet tiré au sort les joueurs ayant remporté un défi. L'objet tiré peut être « commun » ou « rare ». Deux types d'objets communs ou rares sont disponibles, des épées et des boucliers.

Les concepteurs du jeu vidéo ont prévu que :

• la probabilité de tirer un objet rare est de 7 % ;
• si on tire un objet rare, la probabilité que ce soit une épée est de 80 % ;
• si on tire un objet commun, la probabilité que ce soit une épée est de 40 %.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Un joueur vient de remporter un défi et tire au sort un objet. On note :

• $R$ l'évènement « le joueur tire un objet rare » ;

• $E$ l'évènement « le joueur tire une épée » ;

• $\overline{R}$ et $\overline{E}$ les évènements contraires des évènements $R$ et $E$.

• 1. Dresser un arbre pondéré modélisant la situation, puis calculer $P(R \cap E)$.

• 2. Calculer la probabilité de tirer une épée.

• 3. Le joueur a tiré une épée. Déterminer la probabilité que ce soit un objet rare. Arrondir le résultat au millième.

Partie B

Un joueur remporte $30$ défis.

On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre d'objets rares que le joueur obtient après avoir remporté $30$ défis. Les tirages successifs sont considérés comme indépendants.

• 1. Déterminer, en justifiant, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$. Préciser ses paramètres, ainsi que son espérance.

• 2. Déterminer $P(X < 6)$. Arrondir le résultat au millième.

• 3. Déterminer la plus grande valeur de $k$ telle que $P(X \geqslant k) \geqslant 0,5$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

• 4. Les développeurs du jeu vidéo veulent proposer aux joueurs d'acheter un « ticket d'or » qui permet de tirer $N$ objets. La probabilité de tirer un objet rare reste de 7 %.

  Les développeurs aimeraient qu'en achetant un ticket d'or, la probabilité qu'un joueur obtienne au moins un objet rare lors de ces $N$ tirages soit supérieure ou égale à $0,95$.

  Déterminer le nombre minimum d'objets à tirer pour atteindre cet objectif. On veillera à détailler la démarche mise en œuvre.