Exercice 3 — Étude complète de fonction

Le but de cet exercice est d'étudier la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par :

$f(x) = x\ln \left(x^2\right) -\dfrac 1x.$

Partie A : lectures graphiques

On a tracé ci-dessous la courbe représentative $(\mathcal{C}_f)$ de la fonction $f$, ainsi que la droite $(T)$, tangente à la courbe $(\mathcal{C}_f)$ au point A de coordonnées $(1 ; -1)$.

Cette tangente passe également par le point B$(0 ; -4)$.

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

• 1. Lire graphiquement $f'(1)$ et donner l'équation réduite de la tangente $(T)$.

• 2. Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble convexe ou concave.

  Que semble représenter le point A pour la courbe $(\mathcal{C}_f)$ ?

Partie B : étude analytique

• 1. Déterminer, en justifiant, la limite de $f$ en $+\infty$, puis sa limite en $0$.

• 2. On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.

  • a) Déterminer $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0 ; +\infty[$.

  • b) Montrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0 ; +\infty[$,

    $f''(x) = \dfrac{2(x + 1)(x - 1)}{x^3}.$

• 3.

  • a) Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.

  • b) Étudier les variations de la fonction $f'$, puis le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0 ; +\infty[$.

    En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.

• 4.

  • a) Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.

  • b) Donner la valeur arrondie au centième de $\alpha$ et montrer que $\alpha$ vérifie :

    $\alpha^2 = \text{exp} \left(\dfrac{1}{\alpha^2}\right).$