Exercice 4 — Calcul intégral (aires, IPP, suites d'intégrales)

Pour tout entier naturel $n$, on considère les intégrales suivantes :

$I_n = \displaystyle\int_0^{\pi} \text{e}^{- nx}\sin (x)\:\text{d}x, \quad J_n = \displaystyle\int_0^{\pi} \text{e}^{-nx}\cos (x)\:\text{d}x.$

• 1. Calculer $I_0$.

• 2.

  • a) Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , on a $I_n \geqslant 0$.

  • b) Montrer que, pour tout entier naturel $n$ , on a $I_{n+1} - I_n \leqslant 0$.

  • c) Déduire des deux questions précédentes que la suite $\left(I_n\right)$ converge.

• 3.

  • a) Montrer que, pour tout entier naturel $n$ , on a :

    $I_n \leqslant \displaystyle\int_0^{\pi} \text{e}^{- nx}\:\text{d}x.$

  • b) Montrer que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a :

    $\displaystyle\int_0^{\pi} \text{e}^{- nx}\:\text{d}x = \dfrac{1 - \text{e}^{-n \pi}}{n}.$

  • c) Déduire des deux questions précédentes la limite de la suite $\left(I_n\right)$.

• 4.

  • a) En intégrant par parties l'intégrale $I_n$ de deux façons différentes, établir les deux relations suivantes, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ :

    $I_n = 1 + \text{e}^{-n\pi} - nJ_n$ et $I_n = \dfrac 1n J_n$

  • b) En déduire que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a

    $I_n = \dfrac{1 + \text{e}^{-n \pi}}{n^2 + 1}$

• 5. On souhaite obtenir le rang $n$ à partir duquel la suite $\left(I_n\right)$ devient inférieure à 0,1.

  Recopier et compléter la cinquième ligne du script Python ci-dessous avec la commande appropriée.

  1 &from math import *
  2 &def seuil() :
  3 &     n = 0
  4 &     I = 2
  5 &     …
  6 &          n=n+1
  7 &          I=(1+exp(-n*pi))/(n*n+1)
  8 & return n