Exercice 2 — Loi binomiale, Probabilités conditionnelles et arbres

• 1. Entre 1998 et 2020, en France 18221965 accouchements ont été recensés, parmi lesquels 293898 ont donné naissance à des jumeaux et 4921 ont donné naissance à au moins trois enfants.

  • a) Avec une précision de 0,1 % calculer parmi tous les accouchements recensés, le pourcentage d'accouchements donnant naissance à des jumeaux sur la période 1998-2020.

  • b) Vérifier que le pourcentage d'accouchements qui ont donné naissance à au moins trois enfants est inférieur à 0,1 %.

On considère alors que ce pourcentage est négligeable.

On appelle accouchement ordinaire, un accouchement donnant naissance à un seul enfant.

On appelle accouchement double, un accouchement donnant naissance à exactement deux enfants.

On considère dans la suite de l'exercice qu'un accouchement est soit ordinaire, soit double.

La probabilité d'un accouchement ordinaire est égale à $0,984$ et celle d'un accouchement double est alors égale à $0,016$.

Les probabilités calculées dans la suite seront arrondies au millième.

• 1. On admet qu'un jour donné dans une maternité, on réalise $n$ accouchements.

  On considère que ces $n$ accouchements sont indépendants les uns des autres.

  On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d'accouchements doubles pratiqués ce jour.

  • a) Dans le cas où $n = 20$, préciser la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ et calculer la probabilité qu'on réalise exactement un accouchement double.

  • b) Par la méthode de votre choix que vous expliciterez, déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $P(X \geqslant 1) \geqslant 0,99$.

    Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

• 2. Dans cette maternité, parmi les naissances double, on estime qu'il y a 30 % de jumeaux monozygotes (appelés «  vrais jumeaux » qui sont obligatoirement de même sexe : deux garçons ou deux filles) et donc 70 % de jumeaux dizygotes (appelés «  faux jumeaux », qui peuvent être de sexes différents: deux garçons, deux filles ou un garçon et une fille).

  Dans le cas de naissances doubles, on admet que, comme pour les naissances ordinaires, la probabilité d'être une fille à la naissance est égale à $0,49$ et que celle d'être un garçon à la naissance est égale à $0,51$.

  Dans le cas d'une naissance double de jumeaux dizygotes, on admet aussi que le sexe du second nouveau-né des jumeaux est indépendant du sexe du premier nouveau-né.

  On choisit au hasard un accouchement double réalisé dans cette maternité et on considère les évènements suivants :

  • $M$ : « les jumeaux sont monozygotes » ;
  • $F_1$ : « le premier nouveau-né est une fille » ;
  • $F_2$ : « le second nouveau-né est une fille ».

  On notera $P(A)$ la probabilité de l'évènement $A$ et $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$.

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  • a) Recopier puis compléter l'arbre pondéré ci-dessus.

  • b) Montrer que la probabilité que les deux nouveaux-nés soient des filles est 0,31507.

  • c) Les deux nouveaux-nés sont des jumelles. Calculer la probabilité qu'elles soient monozygotes.