Exercice 1 — Dérivation, Continuité et TVI

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble $]0 ; + \infty[$ par

$f(x) = 1 + x^2 - 2x^2\ln (x).$

On admet que $f$ est dérivable sur l'intervalle et on note $f'$ sa fonction dérivée

• 1. Justifier que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 1$ et, en remarquant que $f(x) = 1 + x^2[1 - 2\ln (x)]$, justifier que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.
• 2. Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0 ; + \infty[$, : $f'(x) = - 4x\ln (x)$.
• 3. Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$, puis dresser le tableau de variations de la fonction sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$.
• 4. Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[1 ; + \infty[$ et que $\alpha \in [1 ; \text{e}]$.

On admet dans la suite de l'exercice, que l'équation $f(x) = 0$ n'admet pas de solution sur l'intervalle ]0 ; 1].

• 1. On donne la fonction ci-dessous écrit en Python. L'instruction *from lycee import ** permet d'accéder à la fonction ln.

  from lycee import *
  def f(x) :
       return 1 + x**2 - 2*x**2*ln(x)
  def dichotomie(p)
       a=1
       b=2.7
       while b - a > 10**(-p) :
       
       if f(a)*f((a+b)/2) < 0 :
       |     b = (a+b)/2
       else :
       |     a = (a+b)/2
  

  return (a,b)

  Il écrit dans la console d'exécution :

  $>>>$ dichotomie(1)

  Parmi les quatre propositions ci-dessous, recopier celle affichée par l'instruction précédente ? Justifier votre réponse (on pourra procéder par élimination).

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

Partie B

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$, par

$g(x) = \dfrac{\ln (x)}{1 + x^2}.$

On admet que $g$ est dérivable sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.

On note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans le plan rapporté à un repère $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\right)$.

• 1. Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0 ; + \infty[$, : $g'(x) = \dfrac{f(x)}{x\left(1 + x^2\right)^2}$.
• 2. Démontrer que la fonction $g$ admet un maximum en $x = \alpha$

On admet que $g(\alpha) = \dfrac{1}{2\alpha^2}$.

• 1. On note $T_1$ la tangente à $\mathcal{C}_g$ au point d'abscisse 1 et on note $T_{\alpha}$ la tangente à $\mathcal{C}_g$ au point d'abscisse $\alpha$.

  Déterminer, en fonction de $\alpha$, les coordonnées du point d'intersection des droites $T_1$ et $T_{\alpha}$.