Exercice 3 — Distances, projetés, aires et volumes, Orthogonalité et produit scalaire

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$, on considère les points A(0 ; 4 ; 16), B$(0 ; 4 ; - 10)$, C$(4 ; -8 ; 0)$ et K(0 ; 4 ; 3).

On définit la sphère $S$ de centre K et de rayon 13 comme l'ensemble des points M tels que KM $= 13$.

• 1.

  • a) Vérifier que le point C appartient à la sphère $S$

  • b) Montrer que le triangle ABC est rectangle en C.

• 2.

  • a) Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}3

    1

    0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (ABC).

  • b) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

• 3. On admet que la sphère $S$ coupe l'axe des abscisses en deux points, l'un ayant une abscisse positive et l'autre une abscisse négative.

  On note D celui qui a une abscisse positive.

  • a) Montrer que le point D a pour coordonnées (12 ; 0 ; 0).

  • b) Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par D et perpendiculaire au plan (ABC).

  • c) Déterminer la distance du point D au plan (ABC).

• 4. Calculer une valeur approchée, à l'unité de volume près, du volume du tétraèdre ABCD.

  On rappelle la formule du volume V d'un tétraèdre

  $V = \dfrac13 \times \mathcal{B} \times h.$

  où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée.